Несобственный интеграл 2 рода

Это интеграл следующего вида:

, где

или

, где

Пример 2. Вычислить .

Сходимость несобственных интегралов

Порядковый признак сравнения. Пусть выполняется неравенство

0 < g (x) ≤ f (x), где х [a, b].

Тогда, если несобственный интеграл сходится от большей функции f (x), то он сходится и от меньшей функции g (х), а если он расходится от меньшей функции, то он расходится и от большей функции.

Предельный признак сравнения. Пусть функции f (x) и g (х) с точностью до постоянного множителя эквивалентны в точке их разрыва или и бесконечно удаленной точке. В этом случае несобственные интегралы от этих функции сходятся или расходятся одновременно.

Пример 3. Исследовать .

Решение.

Ответ: Заданный интеграл расходится

При исследовании несобственных интегралов на сходимость часто используют для сравнения интегралы Дирихле 1 и 2 рода

Пусть Тогда несобственный интеграл 1 рода сходится, если α > 1 и расходится, если α ≤ 1. Действительно,

Пусть Тогда несобственный интеграл 2 рода сходится, если α < 1, и расходится, если α ≥ 1. В самом деле,

Пример 4. Исследовать

Решение. Поскольку α = 2, то данный интеграл 1 рода, т.е. интеграл с неограниченным пределом интегрирования сходится. Но в точке х = 3, принадлежащей отрезку интегрирования, неограниченна подынтегральная функция, и в результате данный интеграл 2 рода, т.е. интеграл с неограниченной подынтегральной функцией расходится. Учитывая это, получаем ответ: заданный интеграл расходится.