Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (х) определена, непрерывна и интегрируема на отрезке [a, b]. Тогда определённый интеграл находится по формуле:

Действительно,

{согласно теореме Лагранжа о дифференцируемой функции}

=

Свойства определённого интеграла

1.

Это простейший пример формулы Ньютона-Лейбница.

2.

Используется свойство, что предел суммы равен сумме пределов. Аналогичное свойство имеет место и для производной суммы двух функций

3.

Постоянный множитель выносится за знак интеграла

4.

Это аддитивное свойство определенного интеграла

5.

Если поменять пределы интегрирования, то знак интеграла изменится на противоположный

5. , если на [a, b].

Это свойство следует из аналогичного неравенства для интегральных сумм.

6.

Данное неравенство очевидно, если иметь в виду, что определенный интеграл на отрезке, где функция отрицательна, сам отрицателен.

Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле

Рассмотрим два простейших приема определенного интегрирования. Пусть функция f (x) имеет первообразную F (x). Покажем, что интеграл с переменным верхним пределом также является первообразной функцией относительно f (x).

Вычислим производную от интеграла с переменным верхним пределом:

{воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница}

=

Далее - первообразная f (x)

Верно ли тождество

?

Да, верно. В самом деле, переобозначение переменной интегрирования — это не замена переменной интегрирования.

Не всякий определённый интеграл с переменным верхним пределом может быть выражен в виде комбинации элементарных функций. В качестве примера таких интегралов, которые получили название специальных функций, приведём

— интегральный синус

— интеграл вероятностей

Теорема о среднем

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда найдется такая точка ξ (a, b), что выполняется равенство

, где ξ (a, b)

Для обоснования этого равенства будем исходить из формулы Ньютона-Лейбница

{по теореме Лагранжа} =

=

Каков геометрический смысл теоремы о среднем?

Всегда можно подобрать такую высоту прямоугольника, чтобы его площадь равнялась площади криволинейной трапеции с тем же основанием.

Оценка интеграла

m (b – a) < < М (b – a), где

Это двойное неравенство является очевидным следствием теоремы о среднем

Пусть f [u (x)] непрерывна, а функция u (х) дифференцируема на [а, b], причём u (а) = с, u (b) = d. Тогда

Заметим, что пределы интегрирования изменяются. Итак, формула замены переменной в определенном интеграле такова:

Пример 1. Вычислить .

Решение.

Выполним перенос производной под знаком интеграла , если функции u (х) и v (x) дифференцируемы на отрезке [a, b]. Для этого используем формулу дифференцирования произведения функций

или

Теперь проинтегрируем это равенство

= 1 <

и окончательно получим:

Итак, формула интегрирования по частям в сокращенной записи такова:

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение.