2. Методы расчета установившихся режимов

2.1. Уравнения режимов

Как правило, расчет установившихся режимов электрических систем с помощью ЭВМ производится на основе метода узловых напряжений. Существует несколько форм записи системы уравнений узловых напряжений.

Исходной (базовой) формой записи является комплексная форма баланса токов. Пусть сеть содержит n узлов с неизвестными напряжениями , , …, . Тогда система уравнений узловых напряжений в комплексной форме баланса токов имеет порядок n, а i-е уравнение системы имеет вид

, (2.1)

где Y_ii – собственная проводимость i-го узла, равная сумме проводимостей ветвей, сходящихся в этом узле; Y_ij – взаимная проводимость i-го и j-го узлов, равная сумме проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих эти узлы; – задающий ток i-го узла;

, (2.2)

где n_б – количество базисных узлов (узлов, в которых заданы модуль и фаза напряжения); – напряжение j-го базисного узла; Y_i,бj – взаимная проводимость i-го узла и j-го базисного узла; – сопряженный комплекс мощности, потребляемой в i-м узле; – сопряженный комплекс напряжения i-го узла.

Кроме узлов с неизвестными напряжениями и базисных узлов, сеть может содержать узлы, балансирующие по реактивной мощности, в которых заданы модули напряжений, а фазы являются неизвестными.

Введем единое обозначение для напряжений всех типов узлов: , где i – номер узла. Пронумеруем узлы следующим образом: узлы 1…n – с неизвестными напряжениями; узлы (n + 1)…m – балансирующие по реактивной мощности; узлы (m + 1)…k – базисные. Тогда уравнения узловых напряжений в комплексной форме баланса токов можно записать в следующем виде (с учетом (2.2)):

. (2.3)

Кроме формы баланса токов, при расчете режимов часто используют форму баланса мощностей. Уравнения узловых напряжений в комплексной форме баланса мощностей получаются умножением уравнений типа (2.3) на сопряженный комплекс напряжения i-го узла и имеют следующий вид:

. (2.4)

При непосредственном расчете режимов электрических сетей вместо комплексной формы используется действительная форма записи уравнений. Она получается путем разложения уравнений в комплексной форме на действительную и мнимую составляющие. При этом комплексы напряжений могут быть представлены в алгебраической форме (декартова система координат) или в тригонометрической форме (полярная система координат).

Запишем уравнения узловых напряжений в действительной форме баланса мощностей в полярной системе координат. Обозначим:

, (2.5)

, (2.6)

, (2.7)

где U_i, δ_i – модуль и фаза напряжения i-го узла; g_ij, b_ij – действительная и взятая с обратным знаком мнимая составляющие проводимости Y_ij; P_i, Q_i – активная и реактивная мощности, потребляемые в i-м узле.

Подставим (2.5), (2.6) и (2.7) в (2.4):

.(2.8)

Разделим действительную и мнимую части (2.8). При этом учтем, что

.

В результате получим общий вид уравнений узловых напряжений в действительной форме баланса мощностей в полярной системе координат (первое уравнение соответствует действительной части (2.8), а второе – мнимой части):

, (2.9)

. (2.10)

Выражения (2.9) и (2.10) можно разделить на величину U_i. Тогда получим уравнения узловых напряжений в действительной форме баланса токов в полярной системе координат, сдвинутые относительно уравнений (2.3) на угол (–δ_i):

, (2.11)

. (2.12)

Неизвестными в системе уравнений вида (2.11), (2.12) (или (2.9), (2.10)) являются модули напряжений U₁, …, U_n и фазы напряжений δ₁, …, δ_m. Соответственно общее число уравнений в системе равно (n + m). Для каждого узла с неизвестными напряжениями записываются оба уравнения вида (2.11), (2.12) (или (2.9), (2.10)). Для каждого узла, балансирующего по реактивной мощности, используется только одно уравнение, например, (2.11) (или (2.9)).