5.Анализ однородности исходного

СТАТИСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

5.1.Цель анализа и общие подходы.

Анализ однородности проводят для того, чтобы отсеить резко выделяющиеся наблюдения в выборке и установить возможность объединения различных выборок в одну общую для дальнейших расчётов.

Необходимость в анализе однородности возникает в том случае, когда данные о надёжности получены при различных условиях испытаний (эксплуатации), в разное время или относятся к различающимся устройствам одинакового (схожего) назначения.

Выборки считают однородными, если функции распределения генеральных совокупностей, из которых получены выборки, совпадают во всей области их определения.

Выбор конкретных методов анализа однородности осуществляют на основе предположения о виде распределения, исходя из физики происходящих процессов и опыта предшествующей обработки. Если вид распределения выбрать затруднительно, то необходимо провести предварительную проверку согласия экспериментального и теоретического распределений для каждой выборки отдельно с каждым из предполагаемых распределений. Можно также осуществить проверку согласия, построив общую гистограмму для всех наблюдений.

Предварительная работа по проведению анализа однородности состоит в исключении из дальнейшей обработки резко выделяющихся наблюдений в выборке, которые могли появиться при нарушении правил эксплуатации или условий испытаний. Если число сомнительных наблюдений больше двух, то отсев последовательно по одному из этих выделяющихся наблюдений проводить не следует, а необходимо рассмотреть эти наблюдения как самостоятельную выборку и для неё провести анализ однородности.

Отсев следует проводить для нормального и логарифмически- нормального распределений. Если объём выборки n > 30÷40, то отсев единичных резко выделяющихся наблюдений можно не проводить, так как в этом случае они оказывают весьма малое влияние на величину выборочного среднего и выборочной дисперсии.

Рекомендуется использовать для анализа однородности следующие методы: дисперсионный анализ – если число выборок, для которых определяется однородность, более двух; критерий Вилкоксона и критерий Смирнова – Колмогорова - для анализа однородности двух выборок, когда генеральные совокупности подчиняются любому из распределений, а также в том случае, когда вид распределения неизвестен.

Рассмотрим эти три метода.

5.2. Дисперсионный анализ при оценке однородности выборок.

При применении дисперсионного анализа выборки считают однородными, если равны средние и дисперсии их генеральных совокупностей.

Вначале проверяют гипотезу о равенстве дисперсий. Если она принимается, то проверяют гипотезу о равенстве средних, если и она принимается, то выборки считают однородными. Если одна из гипотез отвергается (о равенстве дисперсий или равенстве средних), то выявляют выборки, вносящие неоднородность.

Проверку гипотезы о равенстве дисперсий проводят в следующем порядке: 1) каждую выборку, объём которой составляет более пяти реализаций случайной величины, разбивают на две подвыборки, каждую объёмом не менее трёх реализаций. Реализации в каждую подвыборку из выборки размещают случайным образом (например, с помощью таблиц или генераторов случайных чисел, или с помощью арифметических алгоритмов псевдослучайных чисел) Таким образом, каждая i-я выборка из m их числа может быть разбита на k_i подвыборок (k_i = 1 или k_i = 2), и в каждой подвыборке окажется n_ij реализаций из общего числа n_i реализаций в i–й выборке. Для каждой подвыборки вычисляют выборочную дисперсию s²_ij и y_ij = ln s²_ij.

Затем y_ij рассматривают как j –е значение в i –й выборке и к ним применяют метод сравнения средних;

2) вычисляют приведенные значения суммы квадратов отклонений от среднего

между выборками A_z и внутри выборок В_z:

_m

A_z = { ∑ν_i ( y_i– y )² } / (m – 1) ; (25)

ⁱ⁼¹

_{m k}

В_z = 1/ν_b ∑ ∑ ν_ij(y_ij – y_i)²; (26)

^{i=1 j=1}

где _{m k k}

ν_b = ∑ (k_i –1); ν_i = ∑ ν_ij; ν_ij = n_ij – 1; y_i = (1/ν_i )∑ ν_ij y_ij;

^{i=1 j=1 j=1}

_m

ν = ∑ ν_i = ∑ ∑ ν_ij

^{i=1 j i}

при i = 1, 2,…, m; j = 1 или j = 1, 2;

3) вычисляют статистику F = B_z/A_z;

4) задаются уровнем значимости ε и по таблицам F – распределения для степеней свободы Z₁ = ν_b; Z₂ = m – 1 и уровня значимости ε определяют [F].

Если F < [F], то гипотеза о равенстве дисперсий принимается, если F ≥ [F], то гипотеза отвергается

Проверку гипотезы о равенстве средних проводят в следующем порядке:

1. вычисляют приведенные значения суммы квадратов отклонений от среднего между выборками А_с и внутри выборок В_с:

_m

Α_с = [ ∑ n_i ( x_i –x )² ] / ( m –1); (27)

ⁱ⁼¹

_{m n}

B_c = [ ∑ ∑ (x_ij – x_i )² ] / (n – m), (28)

^{i=1 j=1}

где _{m m}

x = (1/n) ∑ n_i x_i; n = ∑ n_i;

^{i=1 i=1}

x_ij – j-е значение в i-й выборке; х_i – среднее в i-й выборке;

n_i – объём i-й выборки; m – число выборок;

2)вычисляют статистику F = B_c /A_c и далее поступают аналогично проверке дисперсий: определяют F для уровня значимости ε и z₁ = n – m, z₂ = m – 1

и сравнивают F c [F].

При компьютерном расчёте вместо использования таблиц F –распределения вычисляют значение функции распределения P(F) статистики F, то есть вычисляют интеграл Снедекора. Если ε/2<P(F)<1–ε/2, то гипотеза принимается,

если P(F)≤ε/2 или P(F) ≥1–ε, то гипотеза отвергается. Аналогично проверяют гипотезу о равенстве дисперсий.