2.4.Графическое представление статистических выборок.

Более полными характеристиками выборки по сравнению с рассмотренными выше являются эмпирическая функция распределения, гистограмма и полигон.

Эмпирическая функция распределения (статистическая функция распределения, кумулятивная кривая, функция накопленных частостей) является статистическим аналогом функции распределения генеральной совокупности (теоретической функции распределения)

Эмпирическая функция распределения определяет для каждого х_i частость (статистическую вероятность) события, заключающегося в том, что исследуемая случайная величина х примет значение, меньшее х_i :

F_n (x_i ) = P (x < x_i ).

Статистическая вероятность F_n (x_i ) = (1/n) ∑ m_z ,

^z<i

где n –общее число наблюдений;

∑m_z - накопленная частота, т.е. число вариант со значением, меньшим х_i .

^z<i

Для интервального вариационного ряда эмпирическая функция раcпределения имеет вид ступенчатой кривой. Ширина каждой ступеньки соответствует длине интервала, а её высота – значению накопленной частоты.

Для дискретного вариационного ряда эмпирическая функция распределения имеет вид ломаной линии, отрезки которой соединяют точки с координатами [ x_i ; F_n (x_i )]

. Гистограмма является графическим представлением интервального статистического ряда.

Гистограмму строят по следующему правилу:

• размах вариационного ряда (разность между крайними членами вариационного ряда) разбивают на ряд интервалов;

• над каждым интервалом строят прямоугольник высотой f(x_i ) = m_i / n h_i ,

• где m_i - число членов выборки, попавших в данный интервал; h_i - длина интервала.

Построенную таким образом гистограмму называют гистограммой

относительных частот. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Если при построении гистограммы над каждым интервалом строят прямоугольник высотой m_i /h_i , то такую гистограмму называют гистограммой частот. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объёму выборки n.

Полигон является графическим представлением дискретного статистического ряда.

Для построения полигона относительных частот необходимо соединить прямыми точки с координатами (х_i , р_i ), где х_i - варианта, а р_i - её частота.

При построении полигона частот соединяют точки с координатами (х_i, m_i), где m_i - частота варианты х_i .

Иногда строят полигон и для интервального вариационного ряда, соединяя отрезками середины верхних сторон прямоугольников гистограммы.

2.5.Пример первичной обработки экспериментальных данных.

Определить основные статистические характеристики по данным ресурсных испытаний распределения наработки до предельного состояния тормозных колодок автомобиля ВАЗ–2110. Наработки (варианты) и их частоты представлены в табл.1, то есть уже произведено упорядочивание выборки (ранжирование выборки).

Таблица 1. Исходные данные

x_i , км │ m_i ║ x_i, км │ m_i ║ х_i, км │ m_i

2500. 1 26000 10 52000 1

6300. 3 28000 4 54500 2

9900 2 31000 7 57000 3

10100 1 33000 6 59000 1

11000 5 35000 7 64000 2

11500 5 38000 2 79500 1

14000 12 41500 3

18500 3 43500 4

22000 5 47500 3

24000 6 49100 1

2. 2.5.1.Определяем число интервалов r и длину интервалов h:

3. 1) число интервалов по правилу Старджеса

r = 1 + 3,3 lg n = 1 + 3,3 100 = 7,6,

где n – объём выборки,

n = ∑m_i = 100, принимаем r = 8;

ⁱ

2)длина интервала

h = (x_max – x_min) / r = (79500 – 2500) / 8 = 9625 км.,

принимаем длины всех интервалов одинаковыми

h = 10000 км.

2.5.2.В таблице 2 заполняем первые четыре графы

Таблица 2. Расчётные данные

Номер Интервал, Середина Частота, u_i m_i u_i m_i u_i² m_i u_i³ m_i u_i⁴

интер- h_i , км. интервала, m_i

вала х_i , км.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0 ÷10000 5000 6 −3 −18 54 −162 486

2 10001÷20000 15000 26 −2 −52 104 −208 416

3 20001÷30000 25000 25 −1 −25 25 −25 25

4 30001÷40000 35000 22 0 0 0 0 0

5 40001÷50000 45000 11 1 11 11 11 11

6 50001÷60000 55000 7 2 14 28 56 112

7 60001÷70000 65000 2 3 6 18 54 162

8 70001÷80000 75000 1 4 4 16 64 256

Суммы → 100 −60 256 −210 1468

2.5.3. Вычисляем начальные и центральные эмпирические моменты.

Для удобства переходим к условным вариантам

u_i = (x_i − C) / h , где С – постоянная величина (условный нуль).

За условный нуль принимают обычно значение х_i с наибольшей частотой, или значение х_i , равноудалённое от краевых значений. Примем С = 35000 км.

Так как интервалы все равны, то h = 10000км. и

u_i = (x_i − 35000) / 10000 .

Тогда

u₁ = (5000 − 35000) / 10000 =− 3; u₂ = (15000 − 35000) / 10000 = −2 и т.д.

Все u_i записываем в пятую графу таблицы 2.

Для подготовки вычислений начальных моментов определяем для каждого интервала m_i u_i , m_i u_i² , m_i u³_i , m_i u_i⁴ и записываем эти результаты соответственно в шестую, седьмую, восьмую и девятую графу таблицы 2. Вычисляем начальные моменты для условных вариант (условные эмпирические моменты)

a_k = (1/n) ( ∑m_i u_i^k ), где k – 1, 2, 3, 4;

ⁱ

a₁ = (−60)/100 = −0,6; a₂ =256/100 = 2,56; a₃ =(−210)/100 = −2,10;

a₄ = 1468 /100 = 14,68.

Вычисляем центральные моменты для условных вариант

μ₂ = a₂ – a₁² = 2,56 – 0,60² = 2,20;

μ₃ = a₃ – 3a₂ a₁ + 2a₁³ = – 2,10 + 3•2,56•0,60 – 2•0,60³ = 2,07;

μ₄ = a₃ – 4 a₃ a₁ + 6 a₂ a₁² – 3 a₁⁴ = 14,68 – 4•2,10•0,60 + 6•2,56•0,60² –

• 3•0,60⁴ = 14,78.

2.5.4.Выполняем обратный переход от условных вариант к действительным и определяем среднее значение наработки тормозных колодок до предельного состояния и среднее квадратическое отклонение наработки тормозных колодок до предельного состояния

x = a₁ h + C = – 0,60•10000 + 35000 = 29000км.;

s = h √ μ₂ =10000 √2,20 = 14800км.

2.5.5.Определяем коэффициент асимметрии A(x) и эксцесс E(x)

A(x) = μ₃ / μ₂^3/2 = 2,07 / (2,20)^3/2 = 0,63;

E(x) = μ₄ / μ₂² – 3 = 14,78 /(2,20)² – 3 = – 0,05.

Так как А(х) > 0, то распределение имеет положительную асимметрию,

то есть вершина кривой сдвинута влево и правая сторона более пологая.

Так как Е(х) < 0, то кривая более пологая, чем при нормальном распределении.

Вывод по ресурсным испытаниям.

Тормозные колодки ресурсные испытания не выдержали (не прошли) из-за низкой средней наработки до предельного состояния и большого значения среднего квадратического отклонения.