2.Первичная обработка экспериментального

МАТЕРИАЛА

Последовательность первичной обработки:

• упорядоченность выборочных наблюдений;

• вычисление частостей (относительных частот);

• определение числовых характеристик статистического распределения;

• графическое представление результатов в виде гистограмм, полигонов и

эмпирических функций распределения.

2.1.Упорядочение выборочных наблюдений.

Наблюдавшиеся значения (ресурсы, наработка до первого отказа, время восстановления и т.д.) располагают в следующем порядке

х₁ ≤ x₂ ≤…….≤ x_n .

Полученный ряд называют вариационным, или ранжированным, а различные значения х_i - вариантами. Одна и та же варианта в ранжированном ряду может встретиться несколько раз (см. пример с коленчатыми валами на стр.4).

Если число членов вариационного ряда велико (обычно, если n ≥ 100), то для удобства его изучения наблюдавшиеся значения группируют по интервалам, образуя интервальный ряд. Длины интервалов обычно берут одинаковыми, хотя это и не обязательно. Так, например, при испытаниях новой машины интервалы в начале наработки (до 1500…3000км.) , для детального изучения процессов приработки, могут быть меньше, чем последующие интервалы.

Интервальный ряд может быть построен как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

Число интервалов r определяют, используя правило Старджесса для выборки объёма n

r = 1 + 3,3 lg n.

Тогда длина интервала

h = ( x_max – x_min ) / r,

где x_max и x_min – соответственно максимальная и минимальная варианты.

2.2.Вычисление частостей (относительных частот).

Число наблюдений с одинаковым значением варианты называют частотой, то есть, если значение х₁ наблюдалось m₁ раз, х₂ наблюдалось m₂ раз, .., x_k –m_k

раз, то m₁ , m₂ ,…, m_k – частоты.

Для интервального ряда частота j – го интервала равна числу значений m_j , наблюдавшихся в этом j – м интервале.

Сумма частот равна объёму выборки

_{k r}

∑ m_i = ∑ m_j = n,

^{i=1 j=1}

где k – число вариант;

r –число интервалов;

n – объём выборки.

Отношение частоты k к объёму выборки называют частостью (относительной частотой) p_i =m_i / n

Варианты (перечень интервалов для интервального ряда) и соответствующие им частоты (частости) образуют статистический ряд выборки.

2.3.Определение числовых характеристик статистического

распределения.

После изложенной выше подготовки можно получить различные статистические характеристики (статистики).

2.3.1.Важнейшими характеристиками являются:

1)среднее арифметическое (выборочное среднее, статистическое среднее, средневзвешенное, статистический начальный момент первого порядка)

_{n r r}

x =( ∑x_i ) / n = ( ∑x_j m_j ) / n = ∑x_j p_j .

^{i=1 j=1 j=1}

2)выборочная дисперсия (статистическая дисперсия, статистический центральный момент второго порядка)

_{n r}

s² = (1/n) [ ∑ ( x_i – x)² ] = (1/n)[ ∑ ( x_j – x )² m_j ] для n > 20,

^{i=1 j=1}

_{n r}

и s² = [1/(n-1)] [ ∑ ( x_i – x)² ] = [1/(n-1)] [ ∑ ( x_j – x)² m_j ] для n ≤ 20,

^{i=1 j=1}

где x_j - срединное значение j – го интервала.

Статистическое среднее и статистическая дисперсия являются важнейшими числовыми характеристиками статистического распределения, так как они определяют основные особенности анализируемого статистического ряда – центр группирования и степень рассеяния наблюдений относительно центра.

Чтобы мера изменчивости была выражена в тех же единицах измерения, что и сама случайная величина, для характеристики рассеяния принимают также выборочное среднее квадратическое отклонение (выборочное стандартное отклонение, выборочный стандарт)

s = √ s² .

2.3.2.Кроме статистического начального момента первого порядка (среднего арифметического) и статистического центрального момента второго порядка (выборочной дисперсии) используют как статистические характеристики – статистический центральный момент третьего порядка и статистический центральный момент четвёртого порядка.

_n

Третий центральный момент μ₃ = (1/n) [ ∑( x_i – x )³ ]

ⁱ⁼¹

характеризует отклонение кривой распределения от симметричной.

Для симметричного распределения (например, нормального) μ = 0.

Кривая распределения с одной вершиной при μ < 0 имеет левостороннюю (отрицательную) асимметрию, а при μ > 0 – правостороннюю (положительную) асимметрию.

Асимметрия определяется как A(x) = μ₃ / s³ .

Статистический центральный момент четвёртого порядка _n

μ₄ = (1/n) ∑ (x_i - x )⁴

ⁱ⁼¹

характеризует островершинность (эксцесс) эмпирического распределения.

Для нормального распределения отношение μ₄ / s⁴ = 3, и в качестве

характеристики островершинности принята величина

E(x) = μ₄ / s⁴ – 3, которую называют эксцессом.

При E(x) < 0 кривая более пологая (менее островершинная), чем при нормальном распределении.

При E(x) > 0 кривая распределения более островершинная, чем при нормальном распределении.

2.3.3. Используют также такие характеристики распределения:

• мода – значение случайной величины (наработки), имеющее наибольшую вероятность (значение признака, встречающегося с наибольшей частотой);

• медиана – значение случайной величины, при котором вероятность появления величин x_i , меньших x, равна вероятности появления величин, больших х (значение признака, относительно которого эмпирическая совокупность делится на две равные по числу членов части).

Для медианы можно дать и другое определение. Медианой называют квантиль, отвечающую вероятности Р=0,5.

Квантилью, отвечающей вероятности Р, называют то значение х = х_P , при котором функция распределения F(x) равна Р, т.е.

F(x_P ) = P(x<x_P ) = P.