10.Дисперсионный и последовательный анализы

10.1Дисперсионный анализ как факторный анализ.

Дисперсионный анализ позволяет анализировать результаты испытаний, зависящих от различных одновременно действующих факторов, выбирать наиболее важные факторы и оценивать их влияние.

Например, при оценке работоспособности какого-либо объекта при разных условиях получены статистические данные. Задача состоит в том, чтобы выяснить, зависит ли изучаемое явление от условий, в которых проводились испытания, и если зависит, то как. Результат испытания может измениться как за счёт условий, в которых производится испытание, так и за счёт некоторого случайного воздействия.

Влияние условий испытания выражается в виде некоторого фактора, а случайное воздействие – в виде некоторой случайной величины. Вообще говоря, фактор – это тоже неизвестная случайная величина, однако, в большинстве задач рассматриваются модели с постоянным фактором.

В зависимости от числа исследуемых факторов применяется анализ – однофакторный, двухфакторный и многофакторный.

Например, пусть при однофакторном анализе имеется m групп испытаний амортизаторов автомобилей, при этом каждая группа испытывалась при определённых дорожных условиях. Предполагаем, что для i–й группы автомобилей, содержащей n_i автомобилей , любой результат испытания складывается из следующих составляющих:

μ – фактор, общий для всех групп (истинное среднее, так как при дисперсионном анализе сравнивают выборочные средние);

α_i – фактор, присущий только i –й группе испытаний (истинный эффект

i –го условия испытаний);

ε_ij – cлучайная величина (случайный эффект, который предполагается

независимым).

Тогда модель однофакторного анализа

η_ij = μ + α_i + ε_ij (62)

где

η_ij – любое наблюдение, соответствующее i –й группе;

i = 1, 2,…к,…m;

j = 1, 2,…n_i .

Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы оценить соотношение между факторами μ и α_i для определения существенности или несущественности различий между группами. Существенность различия между

i – той и k – той группами определяется сравнением чисел α_i и α_k. При этом используются различные методы проверки (представление эмпирической дисперсии как суммы квадратов случайных величин, проверка статистических гипотез и т.д.). Сложности применения дисперсионного анализа состоят в решении проблемы выбора факторов, в определении законов распределения случайных величин, в сложности решения задачи в случае, когда результаты наблюдений не являются одинаково распределёнными случайными величинами.

10.2.Последовательный анализ.

Последовательный анализ даёт правила выбора решения о принятии той или иной гипотезы на выборке (нулевой Н₀ или альтернативной Н₁), размеры которой устанавливаются в процессе эксперимента на основании предыдущих результатов.

Испытания, проводимые по плану последовательного анализа, часто более экономичны, чем по другим планам.

При последовательном анализе, после каждого этапа испытаний, принимается одно из трёх решений: 1) принять проверяемую гипотезу;

2. отвергнуть проверяемую гипотезу; 3) продолжить испытания для получения

дополнительных данных.

Перед началом испытаний по плану последовательного анализа должны быть: 1)известна функция распределения; 2) определены гипотезы Н₀ и Н₁ ;

3. выбраны α – ошибка отклонения верной гипотезы и β – ошибка принятия

ложной гипотезы.

Порядок принятия решения при последовательном анализе:

- принять гипотезу Н₀ , если L ≤ β / (1 – α);

- принять гипотезу Н₁ , если L ≥ (1 – β) / α;

- продолжить испытания, если β / (1 – α) ≤ L ≤ (1 – β) / α,

где L = P₁ / P₀ - функция правдоподобия;

Р₁ – вероятность получения выборочных значений при условии,

что верна гипотеза Н₁ ;

Р₀ – то же самое при условии, что верна гипотеза Н₀ .

Функция правдоподобия L определяется по одному из следующих критериев: методу максимального правдоподобия, с помощью распределений Пирсона (например, «хи – квадрат» распределение), с помощью принципа «минимакса» (минимизация максимального риска).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Хазов Б.Ф., Дидусёв Б.А. Справочник по расчёту надёжности машин на стадии проектирования.- М.: Машиностроение. 1986.-224с., ил. (Основы проектирования машин).

2.Дидусёв Б.А. Основы работоспособности технических систем. Часть 1. Качество и надёжность. Комплекс свойств, обеспечивающих работоспособность технических систем. Учебное пособие. МГТУ «МАМИ», М., 2009.

3.ГОСТ 11.003-72 (таблицы случайных чисел).

4.ГОСТ 11.008-75 (графическое представление статистических выборок).

5.ГОСТ 11.004-74, ГОСТ 11.005, ГОСТ 27.503-81 (правила определения оценок и доверительных границ).

6.ГОСТ 11.006-74 (критерии согласия).

Борис Андреевич Дидусёв

Основы работоспособности технических систем. Часть 2. Математический аппарат исследования надёжности технических систем. Статистические и вероятностные оценки надёжности систем. Учебное пособие. Специальность 19060365 «Сервис транспортных и технологических машин и оборудования».

Подписано в печать Заказ Тираж

Усл. п.л. - Уч.-изд. л.-

Бумага типографская Формат 60х90/16

МГТУ «МАМИ», Москва, 107023 Б.Семеновская ул., 38.