8. Представление эмпирического распределения

В ВИДЕ СУММЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

При обработке экспериментальных данных для получения характеристик надёжности нередко бывает удобным представить исследуемую выборку как смесь (сумму, суперпозицию) нескольких распределений.

К таким распределениям могут привести различные причины изготовления и эксплуатации – изготовление одних и тех же деталей на различном оборудовании или по разной технологии, изменение конструкции детали или узла, различия в условиях эксплуатации.

По внешнему виду распределения, например, наличию двух и более максимумов, можно судить о целесообразности использования суперпозиции распределений. В этом случае плотность эмпирического распределения представляют в виде суммы _k

f(x) = ∑ c_if_i(x) (52)

ⁱ⁼¹

где c_i – коэффициенты весомости i – го распределения (доля реализаций i –го распределения в смешанной выборке), f_i(x) –плотность i – го распределения определённого вида, _k

∑ с_i = 1.

ⁱ⁼¹

Оценку математического ожидания x и дисперсии s суперпозиции производят по формулам: _k

x = ∑ c_i x_i; (53)

_{k k} ⁱ⁼¹

s = ∑ c_is_i² + ∑ c_i (x_i – x)², (54)

^{i=1 i=1}

где x_i и s_i - оценки математического ожидания и дисперсии i- го распределения.

Например, если смесь распределений можно представить в виде k

нормальных распределений, то функция распределения суперпозиции

_{k x k}

F_c(x₁) = ∑ c_i (1/√2π s_i) ∫ exp [ – (x – x_i)² / 2s²_i ]dx = ∑ c_i Ф[(x₁ – x_i) / s_i], (55)

^{i=1 – ∞ i=1}

а плотность _k

f_c(x) = ∑( c_i/s_i) φ[(x–x_i)/s_i]. (56)

ⁱ⁼¹

При этом функция распределения суперпозиции в общем случае уже не будет иметь нормального распределения.

9.Корреляционный (регрессионный) анализ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

При анализе результатов экспериментальных данных по надёжности часто приходится рассматривать распределение не только одной случайной величины (например, наработки на отказ,), но и влияние на эту случайную величину другой случайной величины, то есть приходится устанавливать – есть ли и какая взаимная связь двух случайных величин.

Обычно говорят, что величины Х и Y связаны функционально, если каждому значению х₁ соответствует определённое (может быть не одно) значение у₁. Между случайными величинами, кроме функциональной, может существовать ещё и стохастическая связь. При стохастической связи одна из случайных величин реагирует на изменение другой или других случайных величин изменениями параметров закона распределения. Исследованием круга вопросов, связанных с использованием стохастической связи, занимается теория корреляции (теория стохастической регрессии).

При оценке стохастической связи между двумя или несколькими случайными величинами определяют форму связи (криволинейная или прямолинейная) и силу (тесноту) связи. Метод определения тесноты связи (степени взаимосвязи) между случайными величинами называют корреляционным анализом.

При рассмотрении системы двух случайных величин Х и Y необходимо ввести новые статистические характеристики, устанавливающие их взаимную связь.

Стохастическую зависимость Y от Х описывают условным математическим ожиданием _∞

Y(x) = M[Y / (X=x)] = ∫ y f(Y/x) dy. (57)

^–∞

В механической аналогии распределения, если единичная масса распределена на плоскости хоу с плотностью f(x,y), то Y(x) есть ордината центра тяжести массы, распределённой на прямой Х = х.

Дисперсия M[(Y – α)²] минимальна при α = M[Y / (X=x)].

Поэтому линия (57) даёт наилучшее предсказание значения величины Y по значению Х = х и называется линией регрессии.

При исследовании линии регрессии (57) и определяют форму связи случайных величин. Таким образом, регрессия Y по Х определяет изменение математического ожидания Y при изменении Х.

Форма связи исследуемых величин зависит от физической сущности явления (физической сущности отказов) и может иметь вид прямой линии, параболы и т.д. Определение формы линии регрессии, соответствующей реальной форме зависимости, составляет принципиальный момент в изучении корреляции. Глубокое знание исследуемых явлений, влияющих на отказы, зависимостей между ними, является существенным элементом для правильного выбора линии регрессии.

При линейной зависимости

Y(x) = a + bx. (58)

Задача определения линии регрессии сводится в этом случае к определению коэффициентов a и b. Эта задача решается методом наименьших квадратов, согласно которому необходимо, чтобы математическое ожидание квадратов отклонений условных средних от расчётных значений было минимально, т.е. надо найти a и b так , чтобы обеспечить

min M[y(x) – y(x)] = min M[y(x) – a – bx].

Тесноту связи между случайными величинами при линейной корреляции оценивают корреляционным моментом (ковариацией) K_xy и коэффициентом корреляции r_xy.

Корреляционный момент представляет собой математическое ожидание произведения отклонений X и Y от их математических ожиданий

K_x = M[(X – MX) (Y – MY)] (59)

Так как K_xy зависит от единиц измерения и сам по себе не может служить показателем связи, то рассматривают связь нормированных отклонений

(X – MX)/σ_x и (Y – MY)/σ_y ,

в результате чего получают коэффициент корреляции

r_xy = K_xy/σ_xσ_y . (60)

Коэффициент корреляции может находиться в пределах – 1≤ r_xy ≤ 1.

Чем ближе к нулю │r_xy│, тем слабее линейная связь между величинами, чем │r_xy│ , ближе к единице, тем связь сильнее. При │r_xy│=0 (или близком к нулю), линейная корреляционная связь отсутствует. При │r_xy│=1 (или близком к единице) статистическая линейная связь становится функциональной.

Не следует думать, что если линейная корреляционная связь отсутствует, то нет и других форм связи. Криволинейная связь может существовать и даже быть функциональной.

При криволинейной корреляционной связи теснота связи характеризуется корреляционным соотношением ρ_xy

√ 1 – ρ_xy = ( √ M[{Y – y(x)}²]) / σ_y = { σ [Y – y(x)]} / σ_y . (61)

Из (61) также следует, что – 1 ≤ ρ_xy ≤ 1.