6.3.Метод квантилей.

Метод квантилей используют для оценки параметров распределения аналогично методу моментов. В этом случае эмпирические квантили приравнивают к квантилям теоретического распределения и составляют столько уравнений, сколько параметров выбранного распределения необходимо определить. Например, для двухпараметрического распределения Вейбулла можно составить два теоретических квантиля с двумя частотами m₁/n и m₂/n, соответствующими двум выбранным наработкам x₁ и x₂ (x₁ < x₂ ):

1 – exp [ – ( x₁/a )^b ] = m₁/n ;

} (42)

1 – exp [ – ( x₂/a )^b ] = m₂/n.

Из системы уравнений (42) находят параметры b и а распределения:

ln ln 1/(1 – m₁/n) – ln ln 1/(1 – m₂/n)

b = ——————————————————— ;

ln x₁ – ln x₂ } (43)

ln a = (1/b) ln ln (1 – m₁/n) – ln x₁.

Метод квантилей по точности аналогичен методу моментов, но по методу квантилей можно определять параметры распределения не только в случае полной выборки, но и в случае усечённой выборки, при этом выбранные частоты m₁ и m₂ должны быть меньше числа отказавших объектов m, т.е. m₁ <m₂ <m.

6.4.Графический метод.

Графический метод с использованием вероятностной бумаги можно применять для оценки параметров распределения как для полных, так и для усечённых выборок. Точность оценки параметров здесь невысокая, но можно быстро получить приближённую оценку параметров распределения. При этом на вероятностную бумагу наносят накопленные частости F(x_i) и соединяют их прямой, используя метод наименьших квадратов. По положению прямой оценивают параметры распределения.

При использовании графического метода необходимо руководствоваться ГОСТ 11.008 – 75, который устанавливает правила построения и применения вероятностных бумаг при статистической обработке опытных данных.

Все перечисленные методы получения оценок параметров распределения дают точечную оценку параметра. Об общем недостатке точечных оценок и возможности оценки степени доверия к этим оценкам см. раздел 4 «Точечные и интервальные оценки».

7.Проверка согласия эмпирического

И ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Как бы хорошо ни подобрали теоретическую (вероятностную) кривую распределения, всегда между нею и опытным (статистическим) распределением имеются некоторые расхождения. Желательно установить какой- либо числовой критерий, с помощью которого можно было бы оценить расхождение между теоретическим и экспериментальным распределениями и затем определить, является ли это расхождение случайным или оно -–следствие несоответствия теоретического и экспериментального распределений.

7.1.Общие принципы оценки расхождения.

Меру соответствия теоретического и экспериментального распределений характеризуют какой-либо случайной величиной W, которую называют мерой расхождения. В этом случае критерий согласия представляет собой число, равное вероятности того, что мера расхождения W вследствие случайных причин окажется не меньше её частного, полученного из опытов значения ω, то есть

k = P(W ≥ ω ).

На практике за меру расхождения обычно принимают критерии λ, χ² и ω² (критерий лямбда, критерий хи-квадрат и критерий омега-квадрат соответственно). Порядок применения этих критериев определён ГОСТ 11.006-74.

Применение этих критериев основано на использовании так называемой нулевой гипотезы Н₀, т.е. гипотезы, утверждающей, что наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями в выборках (флуктуациями). Все остальные гипотезы, кроме нулевой, в этом случае называют альтернативными.

При этом задаются уровнем значимости α (ошибка первого рода) – ошибкой отклонения верной гипотезы. Ошибка второго рода β - ошибка принятия ложной гипотезы. Величина 1-β носит название мощности критерия. Выразив эту величину через определённый параметр, можно получить функцию мощности. Выбор значений α и β должен зависеть от последствий совершения ошибок первого и второго рода, причём уменьшить одновременно ошибки первого и второго рода можно только увеличением объёма анализируемой выборки.

На практике обычно используют α = 0,01; 0,05; 0,10 и др. Например, при α = 0,01 мы рискуем отвергнуть верную гипотезу в среднем один раз из ста проверок согласия. Дополнительная до единицы вероятность носит название доверительной вероятности γ.

Процедура проверки согласия опытного и теоретического распределений случайной величины х заключается в получении упорядоченного ряда результатов наблюдений этой величины х₁ ≤ х₂ ≤…≤ х_n ,

в построении на основании их функции накопленных частостей и в сравнении этой функции с заданной теоретической.