Для изолированных систем нет приходов и уходов субстанции:

.

Целью расчёта процессов и аппаратов пищевых производств является определение массовых потоков перерабатываемых сред (материалов), определение энергетических затрат, необходимых для осуществления процессов, и вычисление основных размеров машин и аппаратов.

Для инженера важно не только определение материальных и энергетических соотношений процесса, но и глубокий анализ его кинетических закономерностей. Этот анализ позволяет найти оптимальные условия процесса, при которых затраты на его осуществление минимальны.

Анализ процессов и расчёт аппаратов производят в следующей последовательности. Сначала, исходя из законов гидродинамики и термодинамики, выявляют условия равновесия и определяют направление течения процесса. По данным о равновесии устанавливают начальные и конечные значения параметров процессов. По величинам, характеризующим рабочие и равновесные параметры, определяют движущую силу процесса.

На основании закона сохранения материи составляют материальный баланс:

.

Определяют тепловой эффект процесса и, исходя из закона сохранения энергии, составляют тепловой баланс:

,

где Q_p – тепловой эффект процесса.

По полученным данным определяют основной размер аппарата: ёмкость, площадь поперечного сечения аппарата, поверхность нагрева, фазового контакта и т.д. Для определения основного размера аппарата используют общее соотношение

,

где М – количество материала (тепла), перерабатываемого в единицу времени.

Из соотношения следует, что движущая сила и коэффициент скорости процесса являются основными величинами при определении размеров аппарата. Нахождение численных значений этих двух величин является самой сложной частью расчета аппаратуры, т.к. при этом приходится обоснованно решать вопросы масштабных переходов – распространения данных, полученных в лабораторных исследованиях, на промышленные объекты с использованием методов моделирования.

1.4. Применение метода моделирования для исследования и расчета процессов и аппаратов пищевых производств

Изучение процессов с целью получения уравнений, необходимых для их анализа и расчета, можно проводить теоретически. Это наиболее желательный путь решения той или иной инженерной задачи. Он сводится к составлению на основе общих законов физики и химии и решению математических зависимостей, чаще всего дифференциальных уравнений, в полной мере описывающих процесс.

Дифференциальные уравнения описывают целый класс однородных по своей сущности явлений (например, класс явлений распространения тепла теплопроводностью), и для выделения из него конкретного явления необходимо ограничить указанные уравнения дополнительными условиями. Инженера интересует конкретное явление данного класса, наблюдаемое в условиях работы определенного аппарата. Поэтому из множества возможных решений исходного уравнения (или системы уравнений) надо выбрать одно решение, соответствующее исследуемому явлению, т.е. получить однозначное решение. Для этого в имеющиеся условия задачи вводят дополнительные, называемые условиями однозначности и не содержащиеся в исходной системе уравнений. Эти условия ограничивают решение дифференциальных уравнений единственным конкретным случаем.

Условия однозначности включают:

а) данные о геометрических свойствах системы (конфигурации и размерах аппарата);

б) сведения о физических свойствах продуктов (плотности, теплопроводности, вязкости и т.п.);

в) данные о состоянии системы на границе (граничные условия) и о взаимодействии с окружающей средой (распределение температур, давлений, концентраций на поверхности, интенсивность теплоотдачи или массоотдачи и др.);

г) данные о состоянии системы в начальный и конечный моменты времени (временные условия).

Таким образом, дифференциальные уравнения должны решаться совместно с условиями однозначности в устанавливаемых ими пределах.

Однако многие процессы пищевой технологии характеризуются большим числом переменных и настолько сложны, что зачастую удается дать только математическую формулировку задачи и установить условия однозначности. Полученные же дифференциальные уравнения не могут быть решены известными в математике методами. Больше того, некоторые процессы, имеющие место в технологической аппаратуре, настолько сложны, что даже нельзя составить систему дифференциальных уравнений, достаточно полно описывающую данный процесс.

Таким образом, теоретический вывод расчетных зависимостей, необходимых для проектирования аппаратуры, зачастую оказывается невозможным. Поэтому для нахождения связи между величинами, характеризующими процесс, прибегают к экспериментальному исследованию, т.е. к проведению опытов.

На основе опытных данных можно получить эмпирические уравнения, которые носят частный характер и не могут быть распространены на условия, отличные от тех, для которых они получены. Такие уравнения не представляют большой ценности и находят ограниченное распространение в инженерной практике.

Наиболее целесообразно проводить и обрабатывать эксперименты таким образом, чтобы появлялась возможность обобщения результатов опыта, распространения их на широкий круг явлений, подобных исследованному, но отличающихся численными значениями характерных параметров, например, размерами аппаратов, физическими свойствами сред и т.д. Хорошие результаты при обобщении опытов достигаются использованием методов теории подобия.

Теория подобия является учением о методах научного обобщения эксперимента. Она дает информацию о том, как надо ставить опыты и обрабатывать результаты, чтобы при проведении даже небольшого числа экспериментов иметь возможность обобщать опытные данные, получая единые уравнения для всех подобных явлений. Применение теории подобия зачастую позволяет вместо дорогостоящих трудоемких опытов на промышленной аппаратуре выполнять исследования на моделях значительно меньшего размера, и, что немаловажно, проводить опыты не с рабочими веществами и не в жестких условиях технологического регламента, а с другими (модельными) веществами в условиях, отличающихся от промышленных.

Таким образом, методы теории подобия лежат в основе масштабирования и моделирования процессов.

Моделированием называется метод изучения существующего или создаваемого объекта, при котором вместо реального объекта изучается модель (другой объект меньшего размера), а полученные количественные результаты распространяются на реальный объект. Основной результат моделирования заключается в предсказании поведения реального объекта в рабочих условиях производства на основании расчета необходимых параметров оригинала по измеренным параметрам модели.

Методы моделирования основаны на подобии различных объектов. Подобными называются такие объекты, у которых соответствующие параметры, определяющие состояние объектов в пространстве и времени, отличаются только масштабом физических величин.

Модели делятся на знаковые (символические, мысленные) и реальные (вещественные, материальные).

Знаковые модели состоят из математических зависимостей, связывающих физико-химические, режимные и конструктивные параметры технологического процесса, отражающие в явной форме физическую сущность этого процесса. Такие модели содержат математическое описание процесса и называются математическими. Выбор способа описания (теория вероятностей, дифференциальные, интегральные и другие уравнения) определяются характером и сложностью изучаемой системы.

Математическому моделированию обязательно предшествует тщательное всестороннее изучение сущности процесса.

Важной особенностью мысленных моделей является возможность описывать объект различными способами и с разной степенью упрощения. Во многих случаях целесообразно использование самых простых моделей (например, в термодинамике модель идеального газа для приближенного описания свойств реальных газов).

Математическое описание процессов практически реализуется составлением алгоритмов, с помощью которых на ЭВМ получают численные характеристики процессов. Варьируя исходные данные, переменные, влияющие на процесс, путем замены реального объекта математической моделью, с помощью численного эксперимента удаётся установить оптимальные условия проведения процесса. Получив решение, необходимо выявить его соответствие изучаемому объекту, проверить модель на адекватность.

Реальная (материальная) модель является физическим объектом, выполненным в металле, оснащенным приборами, снабженным рабочим (исследуемым) веществом и т.п.

Реальные модели подразделяются на физические и аналоговые.

Физическая реальная модель имеет одинаковую с изучаемым объектом физическую природу и воспроизводит его свойства. Например, гидродинамический процесс перемешивания в промышленной мешалке можно моделировать в лабораторной мешалке меньшего размера с применением другой «модельной» жидкости.

Аналоговая реальная модель основана на сходстве математического описания процессов различной физической природы и воспроизводит аналогию между законами, которые выражают сходные явления в реальном объекте и модели. Например, существует аналогия между законами переноса тепла, вещества, количества движения, фильтрацией жидкости через пористое тело, прохождением электрического тока и другими законами. Поэтому при определенных условиях возможен единый подход к разным по физической природе явлениям.

Рассмотрим различные по физической природе явления и их математические описания:

а) закон теплопроводности Фурье

;

б) закон молекулярной диффузии Фика (перенос вещества)

;

в) закон внутреннего трения

;

г) закон Ома (перенос электричества)

;

д) закон фильтрации Дарси – Вейсбаха

.

Все представленные дифференциальные уравнения изоморфны, т.е имеют идентичную, одинаковую по форме математическую запись.

В уравнения входят:

• соответствующие градиенты: температуры , К/м; концентрации , кг/м⁴; скорости , 1/с; электрического потенциала , В/м: давления , Н/м²;

• соответствующие плотности потоков: тепла , Вт/м²; вещества , кг/(м²с); количества движения , Н/м²; электричества , А/ м²; жидкости , м/( с·м²).

Коэффициентами пропорциональности между плотностями потоков и градиентами служат соответственно коэффициенты: теплопроводности , Вт/(м·К); диффузии , м²/с; вязкости , Н·с/ м²; удельной проводимости , А/(В·м); фильтрации , Н·с/ м².

Любой из указанных законов с введением размерных коэффициентов пропорциональности можно представить, например, на электрической модели как закон Ома, на гидравлической модели как закон течения жидкости и т.д. Так появились аналогии: электротепловая – ЭТА; электрогидродинамическая – ЭГДА и др.

В пищевой технологии, как уже было отмечено, с моделированием чаще всего связывают экспериментальный метод, основанный на проведении опытов на физических материальных моделях с распространением результатов на реальный объект. Нередко при проведении заводских опытов моделью служит сам промышленный аппарат, что облегчает задачу масштабного перехода от модели к объекту. Однако в этом случае возможности варьирования параметров процесса ограничены и основаны лишь на наблюдаемых в промышленном процессе факторах. При таком экспериментальном исследовании могут выпасть из поля зрения некоторые факторы, действие которых может не проявляться в условиях наблюдаемого процесса.

1.5. Геометрическое и физическое подобие

При физическом моделировании рассматривают классы однородных явлений, имеющих одинаковую физическую природу, например, класс явлений, связанный с изучением теплопроводности. Из класса однородных явлений выделяют группу подобных между собой явлений.

Принцип выделения группы подобных явлений можно рассмотреть на простейшем примере геометрического подобия однородных фигур (прямоугольников, треугольников и т.п.). Подобные однородные фигуры отличаются только масштабом. Любая из подобных фигур может быть получена из другой фигуры той же группы путем умножения ее линейных размеров на постоянный масштабный множитель С_l . Этот множитель называется константой подобия или множителем подобного преобразования. Так, для подобных треугольников А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ его стороны соотносятся следующим образом: А₁В₁= С_l· А₂В₂; В₁С₁= С_l· В₂ С₂; С₁ А₁= С_l· С₂А₂ . Причем для каждой пары фигур С_l=const.

В применении к технологическим процессам понятие геометрического подобия расширяется и распространяется на все физические величины, характеризующие данный процесс. Два подобных процесса отличаются масштабом физических величин, поэтому для каждой из этих величин (плотности ρ, вязкости μ, скорости w, силы f и т.п.) имеется свой множитель подобного преобразования ( и др.).

Физические составляющие одного из процессов (ρ₁, μ₁, w₁, f₁ и др.) выражаются через параметры второго процесса (ρ₂, μ₂, w₂, f₂ и др.) при помощи соответствующих множителей, которые не равны друг другу ( ): ; ; ; и т.д.

Физические величины по мере протекания процесса изменяются во времени и в пространстве - объеме аппарата, возникают поля величин – температур, давлений, скоростей, концентраций. Существует понятие о временном подобии и подобии полей физических величин.

Временное подобие – это подобие отрезков времени, отсчитываемых от начала процесса.

Подобие полей физических величин заключается в постоянном соотношении физических величин процессов для любых двух сходственных точек рассматриваемых аппаратов. Подобные поля физических величин могут наблюдаться только в геометрически подобных аппаратах. Поэтому необходимой предпосылкой физического подобия процессов является геометрическое подобие аппаратов.

Физические явления считаются подобными при условии подобия всех величин, характеризующих эти явления. Физическое подобие наступает, если в геометрически подобных системах подобны поля всех физических величин в подобные (сходственные) моменты времени от начала процесса.

Любой процесс отличается от подобного ему процесса той же группы только масштабом характерных величин, отражающих различные стороны процесса. Все процессы данной группы представляют собой один и тот же процесс в разных масштабах. Следовательно, для того, чтобы судить обо всей группе процессов, достаточно изучить один из подобных процессов данной группы. Для изучения необходимо выбрать удобный масштаб и воспроизвести процесс в малой модели. И затем по результатам опытов можно судить о подобном процессе, протекающем в большом масштабе промышленного аппарата.

Выбор множителей подобного преобразования для каждой из физических величин не произволен. Значения констант подобия для различных физических величин определяется особым правилом, вытекающим из основных теорем подобия. Используются три основные теоремы, которые отвечают на практические вопросы, возникающие при постановке модельных или натурных опытов:

• какие величины нужно определять в опытах;

• в какой форме следует представлять количественные результаты опытов;

• на какие промышленные аппараты можно распространить результаты модельных опытов.

Первая теорема подобия, известная как теорема подобия Ньютона, отвечает на первый вопрос и формулируется таким образом: подобные между собой явления имеют одинаковые критерии подобия.

Рассмотрим справедливость формулировки на следующем примере. Пусть в подобных системах происходит подобное движение тел. Основным физическим законом для движения тел является второй закон Ньютона:

.

Для двух подобных систем уравнения имеют вид:

; .

Физические величины, характеризующие поведение двух систем, отличаются только масштабом, поэтому

; ; ; ; ; .

Разделим исходные уравнения двух систем одно на другое:

или . (1.1)

Следовательно, при подобии двух систем

.

Комплекс множителей подобного преобразования называется индикатором подобия. Для двух заведомо подобных явлений он равен единице.

Отсюда следует вторая формулировка первой теоремы подобия, предложенная М.В. Кирпичевым: у подобных явлений индикаторы подобия равны единице.

Из уравнения (1.1) следует, что

и .

Таким образом, для двух и ряда подобных явлений (т.е. группы подобных явлений данного класса) сохраняется численное равенство величин , что записывается так: (инвариантно, неизменно) или (одно и то же).

В честь Ньютона безразмерный комплекс физических величин назван числом Ньютона: .

Следовательно, для ряда (группы) подобных процессов, класс которых описывается исходным физическим уравнением второго закона Ньютона, справедливо равенство

.

В частности, если рассматривать подобные процессы движения в модели и реальном объекте, то

.

Это равенство является математической формулировкой первой теоремы по числу Ньютона. Число Ньютона представляет собой критерий подобия, т.к. равенство этих комплексов для ряда подобных процессов является признаком (критерием) их подобия.

Первая теорема подобия показывает, что в правильно поставленных опытах целесообразно измерять только те физические величины, которые входят в критерии подобия исследуемого процесса.

Критерии подобия могут быть получены из уравнений, описывающих исходный процесс. При этом безразлично, записаны они в алгебраической или дифференциальной форме.

Наиболее важными свойствами критериев подобия является следующие. Они безразмерны, но имеют определенный физический смысл. Так критерий Ньютона представляет собой меру отношения импульса силы и количества движения и выражает соотношения активных и противодействующих сил. В частных случаях движения в зависимости от конкретных выражений для силы, массы и скорости (как это будет показано ниже) критерий принимает иной вид, преобразуясь в критерий Рейнольдса, Эйлера, Фруда, Галилея и др.

Определенный физический смысл каждого критерия подобия отличает его от произвольно подобранных безразмерных комплексов из случайных физических величин.

Вторая теорема подобия – теорема Федермана – Бекингема – отвечает на второй вопрос: как обрабатывать результаты опытов. Согласно этой теореме, решение любого дифференциального уравнения, связывающего между собой влияющие на процесс переменные, может быть представлено в виде зависимости между безразмерными комплексами этих величин, т.е. между критериями подобия.

Критерий подобия , содержащий интересующую нас величину, должен быть выражен как функция других критериев, К₂, К₃, К₄, …, отражающих различные стороны процесса:

. (1.2)

В общем случае вид этой функции заранее неизвестен и определяется при обработке экспериментальных данных. Результаты опытов при их обработке наиболее целесообразно представлять, например, в виде степенной зависимости

, (1.3)

где - постоянные коэффициенты, найденные из опытов.

Замечательной и важной в практическом отношении особенностью метода подобия является то, что исходная система дифференциальных физических уравнений не решается аналитически, а используется для определения вида и числа критериев в функции (1.2). Практическое, экспериментальное решение исходной системы достигается в форме (1.3).

Каждое критериальное уравнение, несмотря на эмпирический способ его получения в явной форме, имеет определенный физический смысл, потому что оно является уравнением подобия и отражением законов природы, выраженных исходной системой физических уравнений.

Каждый из критериев обобщенного уравнения отражает какую-либо одну из основных сторон процесса, а все критериальное уравнение – весь процесс в целом.

Все безразмерные величины, получаемые при подобном преобразовании дифференциальных уравнений, представляют собой, как уже было отмечено, критерии подобия. Различают критерии-комплексы, составленные из разнородных физических величин (подобно критерию Ньютона), и критерии-симплексы или параметрические, масштабные критерии, составленные из одноименных величин (например, - относительная длина трубы с длиной и диаметром ).

Из одних и тех же физических величин можно составить различные критерии подобия. Их можно делить, умножать, получая новые критерии подобия с иным физическим смыслом. Поэтому решение уравнения в форме (1.3) не является единственным. Например, если для двух разных критериев показатели степени одинаковы, то наиболее целесообразно эти критерии объединять в один. В этой связи один и тот же процесс может быть описан несколькими системами, составленными из критериев. Так, для процессов кипения жидкостей существует более десяти обобщенных зависимостей, основанных на практически совпадающих экспериментальных данных.

Третья теорема подобия, или теорема М.В. Кирпичева и А.А. Гухмана, формулирует необходимые и достаточные условия подобия явлений: явления между собой подобны, если они описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и имеют подобные условия однозначности.

Подобию же условий однозначности при идентичности дифференциальных уравнений, описывающих процессы, отвечает равенство определяемых критериев. Таким образом, третью теорему подобия можно сформулировать и так: явления подобны, если их определяемые критерии численно равны.

Следствием равенства определяющих критериев является равенство определяемых критериев для натуры и модели. Поэтому зависимость типа уравнения (1.3), полученная обобщением результатов опытов на модельной установке, будет справедлива в пределах изменения определяющих критериев для всех подобных процессов, в том числе и для натуры.

Моделирование процессов и аппаратов осуществляют обычно в таком порядке:

1. составляют математическое описание процесса в виде уравнений, описывающих процесс, и условий однозначности;

2. выводят критерии подобия и из них выделяют критерий, содержащий искомую величину. Этот критерий (определяемый) выражается в неявной функции от остальных критериев, называемых определяющими;

3. из условий равенства критериев в модели и образце выбирают константы подобия для каждой из физических величин;

4. на основе этих данных рассчитывают и изготавливают модель, рабочий объем которой геометрически подобен рабочему объему промышленного аппарата. Масштаб модели определяют с учетом размеров и производительности аппарата, обеспечивая требуемые скорости, расходы, температуры и другие величины для рабочих тел;

5. принимают меры для того, чтобы при проведении опытов определяющие критерии в модели изменялись в тех же пределах, что и в промышленном аппарате.

При выполнении указанных требований все соответственные величины для модели и образца, характеризующие явление, будут пропорциональны между собой, при этом подобие натуре наступит по всему объему модели.