7.2. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Пусть функция у = Дх) определена на промежутке X. Возьмем точку хеХ Дадим значению х приращение Ах Ф О, тогда функция получит приращение Ay = Дх+Ах)~Дх).

Определение. Производной функции у = Дх) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой пере­менной при стремлении последнего к нулю (если этот предел суще­ствует):

.. Ay f(x+Ax)-f(x) ._ ._ч

у' - hm — = hm — -—^J-^-¹-. (7.4)

дх-»О Дх Д*->о Дх

Производная функции имеет несколько обозначений: у', f'(x), dy df(x) _r. „

-^-, . Иногда в обозначении производной используется

dx dx

индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например, у'_х.

178

Нахождение производной функции называется дифференциро­ванием этой функции.

Если функция в точке х имеет конечную производную, то функ­ция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, диф­ференцируемая во всех точках промежутка X, называется диффе­ренцируемой на этом промежутке.

Теперь вернемся к рассмотренным выше задачам.

Из задачи о касательной вытекает геометрический смысл про­изводной: производная f'(x₀) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=fix) в точке х_о,т.е. k = f'(x₀).

Тогда уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х₀ при­мет вид

-х_о). (7.5)

Из задачи о скорости движения следует механический смысл производной: производная пути по времени s'(to)ecmb скорость точки в момент t₀: v(t_o)=s'(tQ).

Из задачи о производительности труда следует, что производ­ная объема произведенной продукции по времени и' (t₀) есть произ­водительность труда в момент f₀ •

ОПример 7.1. График функции у = Дх) есть полуокружность (см. рис. 7.4). Используя геометрический смысл производной, найти значения производной f (x) в точках А, В, С, D, Е, делящих полу­окружность на четыре равные части.

Р ешение. В точках В и D углы наклона касательных к гра­фику составляют соответственно 45° и 135°, поэтому у'_в = tg 45°= 1,

Рис. 7.4

В точке С касательная парал­лельна оси Ох(а=0), поэтому у'_с = =tg 0=0. В точках An Eкасатель­ные перпендикулярны к оси Ох, а=90°, tg 90° — не существует, т.е.

функция Дх) недифференцируема в этих точках, точнее — произ­водная в этих точках бесконечна: f'_A = +oo, ffc = —оо (знаки, стоя-

179

щие перед символами бесконечности, определяются тем, что в окрестности точки А производная/'(х) положительна (острый угол наклона касательных), а в окрестности точки Е — отрица­тельна (тупой угол наклона).^

ОПрнмер 7.2. Доказать, что функция у=\х\ недифференци-руема в точке х = 0.

Решение. Производная функция (если она существует)

р авна

, .. Ау .. |х + Дх|-|х|

у' = шп — = litn J ^!—i-¹.

д*-»о Дх д*->о Ах

Очевидно, что при х=0 произ­водная не существует, так как от-

равно 1

ношение

Ах|-|0|_[Ах|

Ах ~Ах

при Дх>0 и —1 при Дх<0, т.е. не имеет предела при Дх->0 (ни ко­нечного, ни бесконечного). Геомет­рически это означает отсутствие касательной к кривой в точке х=

= 0 (рис. 7.5»

Зависимость между непрерывностью функции и дифференци-руемостью. Теорема. Если функция у = Дх) дифференцируема в точке х₀, то она в этой точке непрерывна.

□ По условию функция у = Дх) дифференцируема в точке т.е. существует конечный предел

где f(x₀) — постоянная величина, не зависящая от Дх.

Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых с п делами функций (см. § 6.3) можно записать

Ах

(7.6)

где а(Ах) — бесконечно малая величина при Дх->0 или

Ду=/'(х_о)Дх+а(Дх)-Дх (7.7)

При Дх-»0 на основании свойств бесконечно малых устанав­ливаем, что Ау->0 и, следовательно, по определению (6.24) функ­ция у =Дх) в точке х₀ является непрерывной.И

Обратная теорема, вообще говоря, неверна, т.е. если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференци­руема в этой точке. Так, например, функция у— I x | непрерывна в точке х=0, ибо limlxl = |0|=0 (рис. 7.5), но, как было доказано в

х»0' ' ' '

примере 7.2, недифференцируема в этой точке.

Таким образом, непрерывность функции — необходимое, но не­достаточное условие дифференцируемости функции.

В математике известны непрерывные функции, недифферен-цируемые ни в одной точке.

Замечание. Производная непрерывной функции не обя­зательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную произ­водную на некотором промежутке X, то функция называется гладкой на этом промежутке. Если же производная функция до­пускает конечное число точек разрыва (причем первого рода), то такая функция на данном промежутке называется кусочно гладкой.