Раздел III дифференциальное исчисление

Г лава 7. ПРОИЗВОДНАЯ 7.1. Задачи, приводящиеся к понятию производной!

1. Задача о касательной. Пусть на плоскости Оху дана непре­рывная кривая у=Л^х) и необходимо найти уравнение касательной

к этой кривой в точке М_о(хо, Уо) (Рис. 7.1).

Прежде всего необхо­димо выяснить, что мы будем понимать под каса­тельной к кривой. Каса--тельную нельзя опреде­лить как прямую, имею­щую с кривой одну об­щую точку. В самом деле, прямая (1) на рис. 7.2а имеет одну общую точку с кривой (2), но не явля­ется касательной к ней. А прямая (3) на рис. 7.26, хотя имеет две общие точки с кривой (4), оче­видно, касается ее в точке А. Поэтому для определе­ния касательной к кривой

Рис. 7.2 должен быть реализован

другой подход.

176

Дадим аргументу х₀ приращение Ах и перейдем на кривой у=Дх) ^от точки M₀(x₀; /(*<>)) к точке М_х(х₀ + Ах; Дх₀ + Ах)). Проведем секущую М$М_Х (см.рис. 7.1).

Под касательной к кривой у=Дх) в точке М_о естественно по­нимать предельное положение секущей M₀M_{ при приближении точки Mi к точке Л/_о, т.е. при Дх-»0.

Уравнение прямой, проходящей через точку М_о, в соответст­вии с (4.4) имеет вид

Угловой коэффициент (или тангенс угла ср наклона) секущей

Ау км щ может быть найден из AMqM\N: к^ ™ = tg ср = — (см.

рис. 7.1). Тогда угловой коэффициент касательной

к = lim k_MnMl = lim ^-. (7.1)

Оставим на время задачу о касательной и рассмотрим другую

задачу.

2. Задача о скорости движения. Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону s=s(t), где s — пройденный путь, t — время, и необходимо найти скорость точки в момент t₀.

К моменту времени /₀ пройденный путь равен sq = s(to), а к моменту (t₀ + At) — путь Sq + As = s (f₀ + At) (рис.7.3.).

s(t₀) Ад s(t_o+At) Тогда за промежуток At

'—► средняя скорость будет v_cp =

= *1. Чем меньше At, тем At

t₍₎ ^At t_o+M

Рис. 7.3

лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t₀. Поэтому под скоростью точки в момент /₀ естественно пони­мать предел средней скорости за промежуток от t₀ до t_o + At,

когда At -»0, т.е.

As

v = lim v_cp = lim

0 ^И 0

(7.2)

3. Задача о производительности труда. Пусть функция и = u(t) выражает количество произведенной продукции и за время t и необходимо найти производительность труда в момент t₀.

177

За период времени от /₀ Д° А)⁺ А/ количество произведенной продукции изменится от значения и₀ = u(t₀) до значения «о + Аи =и( /₀ + Д/); тогда средняя производительность труда за

этот период времени z_cp = —. Очевидно, что производительность труда в момент t₀ можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от ?₀ до /₀ + At при At -»0, т.е.

(7.3)

z = iim z_CD = hm —.

4/->0 ^wp д»_>о At

Рассматривая три различные по характеру задачи, мы пришли к пределу (7.1)—(7.3) одного вида. Этот предел играет чрезвычай­но важную роль в математическом анализе, являясь основным понятием дифференциального исчисления.