6.6. Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов

П ервым замечательным пределом называется с/

(6.15)

□ Для доказательства формулы (6.15) рассмотрим круг радиуса R с центром в точке О. Пусть ОВ — под­вижный радиус, образующий угол х

(0<х< —) с осью Ох (см. рис. 6.6.). Из

гис. о.о

геометрических соображений следует, что площадь треугольника АО В мень­ше площади сектора А ОВ, которая в$| свою очередь меньше площади прямо­угольного треугольника АОС, т.е.

Так как

= -R-R-sinx =-R² sinx, S_ceKm._A0B

^К4ОВ " сект. ЛОВ ' J_

2" " 2

1 1 I

= — АО ■ {АО ■ tg х) = — i?²tg х, то имеем

или

— R² sin л: < — R²x < — Rhg x, откуда, разделив части двойного не­ равенства на — R² sin х > 0, получим 1 <

cos л:

2 sin*

четные, то полученные нера-

венства справедливы и при — < х < 0. Переходя к пределу при х-»0, получим lim 1 = 1, limcosx =1 (обоснование этого факта

х>0 х»0

см. в примере 6.7). На основании признака существования пре­ дела промежуточной функции lim =1.И

х->0 X

ОПример 6.4. Найти:

1-cosx

a) lim

0

4х

; б) hm

0

_ . ,. sin6x 3 .. sin6x 3 , 3

г е ш е н и е: a) lim = — lim = — • 1 = —;

х->о 4х 2x^-0 6х 2 2

sm-

- = —lim

X

„ ,. 1-cosx .. б) lim ^—^=Ш11

Второй замечательный предел. Рассмотрим числовую последова-

тельность а„

Л» 1 + — . Если вычислять значения членов после-

п)

довательности, то получим а_х = 2,0, а₂ =2,25, а₃ ⁼ 2,37 , а₄ = 2,441, а_ь = 2,488, ..., и можно предположить, что последовательность {а„}является возрастающей. Действительно, воспользуемся фор­мулой бинома Ньютона¹ (см. § 14.2):

1-2 и 1

1 я(л-1) 1 и(и-1)...(и-(и-1)) 1

1-2.. .я

а„=\1+-\ = я/

или

¹

(6.16)

¹ I !| а. =2 + 1--+...+ „

^и 1-2V «J 1-2...л

С ростом я увеличиваются как число положительных слагае­мых (их в формуле я+1), так и величина каждого слагаемого, т.е.

¹ Стоящее в знаменателе общего члена произведение л первых чисел натурального ряда называется факториалам (обозначается л!, читается "эн факториал"): л!=1-2-3...(и-1)л.

156

157

Последовательность {а„ } является ограниченной. Это следует из (6.16), если дать оценку а_п :

а_п <2

1-2 ■■■⁺1-2...л⁺'"^{< +}2⁺"'⁺2^и"¹ ' (полученную после освобождения от скобок, каждая из которых меньше 1, и замены каждой из дробей большей дробью с двойка­ми в знаменателе:

11 11

1-2-3 ^2²' ■"' 1.2...и^<2"-¹⁾' ^11 сумма -+...+ —jпредставляет сумму S_n__xчленов геометриче-

1 1

скои прогрессии с первым членом а - — и знаменателем q -—.

Имеем

л-1

-1

■ = !-■

2"~

Полагая у-—, найдем х=—; при х-+ <х> у-+ 0. х У

В результате получается еще одна запись числа е:

у)

е=

(6.19)

Число е (число Эйлера, неперово число) играет весьма важную роль в математическом анализе. График функции у=е^х (см. рис. 7.8) получил название экспоненты. Широко используются лога­рифмы по основанию е, называемые натуральными. Натуральные логарифмы обозначаются символом In: log^ x = In x.

ОПример 6.5. Найти:

( 5 a) lim 1 + -

x->«>V X

Решение.

б)

-ъу)^у.

у->0

15

Ux

_уЪх

= eⁱ⁵:

a) lim 1 + — = lim

X->ooV XJ Х->к

— lim

Х-+ао

( \У

Так как S_n__x < 1, то а„ = 1 + — <2+1=3.

Согласно признаку существования предела монотонная и ое-

( \У

раниченная последовательность а„ = 1 + — имеет предел

V п)

Определение. Числом е (вторым замечательным пределом)

называется предел числовой последовательности

(6.17)

п-кю\ п)

Выше мы фактически установили, что 2<<КЗ. Более точно е»2,718281..., т.е. число е — иррациональное число.

Можно показать, что функция у=\ 1 + — при х-> +оо и при х-> -»

V XJ

(где х в отличие от натурального числа л "пробегает" все значения чи­словой оси — не только целые) имеет предел, равный числу е.

(6.18)

е= lim Г1 + — | .

X—>оо\ XJ

158

б) lim(l -Ъу)^у = lim

= lirii

у->0

К числу е приводят решения многих прикладных задач статисти­ки, физики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов. Пер­воначальный вклад в банк составил Gb денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно р% годовых. Необходимо найти размер вклада Q, через t лет.

При использовании простых процентов размер вклада ежегод­ но будет увеличиваться на одну и ту же величину Qn,

100

значительно чаще применяются сложные проценты. В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и то же число

(1₊₁^)раз,т.е.

159

Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а п раз, то при том же ежегодном приросте р% процент начисления

1 р -„

за —ю часть года составит —те, а размер вклада за t лет при nt п п

начислениях составит

(6.20)

100 л

Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие (и=2), ежеквартально (п=4), ежемесячно (я=12), ка­ждый день (и=365), каждый час («=8760) и т.д., непрерывно (л-»оо). Тогда размер вклада за / лет составит

1(10

100»

Q_t = lim

_{о, и}

юо«

100«

^{1 +} _ТоУ

■—>оо

или с учетом (6.18) при х=

,100

(6.21)

Формула (6.21) выражает показательный (экспоненциальный) за­кон роста (при р>0) или убывания (при /КО). Она может быть использована при непрерывном начислении процентов.

Чтобы почувствовать результаты расчетов в зависимости от способа начисления процентов, в таблице в качестве примера приводятся размеры вкладов Q_t, вычисленные при Qq=1 ден.ед.,

р=5%, /=20 лет.

	Формула простых процен-	Формула сложных			процентов		Формула непрерывного начисления
	тов	п=\	«=2	«=4	«=12	«=365	процентов
Размер вклада, ден.ед.	2,0000	2,6355	2,6851	2,7015	2,7126	2,7181	2,7182

Как видим, погрешность вычисления суммы вклада по форму­ле (6.21) непрерывного начисления процентов по сравнению с

формулой (6.20) сложных процентов, начисляемых ежегодно (я=1), при одной и той же процентной ставке (/7=5%) оказалась незначительной (около 2,5%).

Замечание. Хотя в практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов применяется крайне редко, оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности, при обосновании и выборе инвестиционных решений.