6.5 Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела

Пусть Дх) и ф(х) — функции, для которых существуют преде­лы при х-»х₀ (или при х-ке): lim f(x)=A, lim q>(x)=B.

ДГ>ДС(«>) X»X(o)

Сформулируем основные теоремы о пределах.

1. Функция не может иметь более одного предела.

□ Предположим противное, т.е. что функция Дх) имеет два предела А и Д А фИ. Тогда на основании теоремы о связи беско­нечно малых величин с пределами функций в соответствии с формулой (6.8) Дх)=/4+а(х), Дх)=Х)+р(х), где.офс) и Р(х>— беско­нечно малые при х-»х₀ (х->оо). Вычитая почленно эти равенства, получим 0=Л-/М-(а(х)-р(х)), откуда a(x)-p(x)=Z)-A Это равен­ство невозможно, так как на основании свойства 1 бесконечно малых а(х)—р(х) есть величина бесконечно малая. Следовательно,

предположение о существовании второго предела неверно.И

2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой оке сумме пределов этих функций, т.е.

lim \Д ]

X->X₀(cof

152

153

3. Предел произведения конечного числа функций равен произве­ дению пределов этих функций, т.е.

_xhmJf(xMx)]=AB.

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

lim (cfix))=cA.

ЛГ->*0(»)

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е.

_{шп 4^-4 да»-}

Х-»Х₀(оо) ф(Х) В

5. Если lim f(u) =A, lim ф(х) = щ, то предел сложной функции

6. Если в некоторой окрестности точки х₀ (или при достаточно больших х) fix)<(p(x), то

lim f(x) <, lim <p(x).

О Докажем в качестве примера теорему 2. По условию lim f(x) =A и lim (р(х)=В, следовательно, на основании

₀()

теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функ­ций в соответствии с (6.8) fix)=A+a(x), (p(x)=B+fi(x), где а(х) и (3(дг) — бесконечно малые величины при x->jc₀ (х-»оо). Перемно­жая почленно оба равенства, получим

fix)<p(x)=A£+ Ва(х) + Ар(х) + а(х)Р(х).

. ___

На основании свойств бесконечно малых последние три сла­гаемые представляют величину, бесконечно малую у(х) при х-» лг₀ (х-юо). Итак, функция Дх)ф(х) представляет сумму постоянного числа АВ и бесконечно малой у(х). На основании обратной тео­ремы о связи бесконечно малых с пределами функций это озна­чает, что lim f(x) (p(x)=ABM х-*хо(«з)

Замечание. В теоремах о пределах предполагается суще­ствование пределов функций fix) и cp(je), из чего следуют заклю­чения о значениях пределов суммы, произведения или частного

функций. Но необходимо учитывать, что из существования пре­дела суммы, произведения или частного функций еще не следует, что существуют пределы самих слагаемых, сомножителей или делимого и делителя.

Например, lim (tg x-ctg x)= lim 1=1, но отсюда еще не следу- it ж

ет существование пределов lim tg x и lim ctg x. И действитель-

л я

но, в данном случае первого из этих пределов не существует.

Признаки существования предела. Для выяснения вопроса о существовании предела использовать определения предела, сфор­мулированные выше, не всегда удобно. Проще это сделать с по­мощью признаков существования предела.

Теорема 1. Если числовая последовательность {а_п} монотонна и

ограниченна, то она имеет предел.

Возможны два случая: а) последовательность неубывающая и ограниченная сверху а_х < а₂ <...< а„ <...< М (см. рис. 6.5а); О) последовательность невозрастающая и ограниченная снизу щ > п2 >...> а„ >...£ М (см. рис. 6.56).

Рис. 6.5. иллюстрирует наличие предела А числовой последо­вательности.

А

А

I

■+■

а) б)

Рис.6.5

Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки х_о(или при достаточно больших значениях х) функция fix) заключена между двумя функциями ф(х) и vj/(x), имеющими одинаковый предел А при х-»х₀ (или х-*»), то функция fix) имеет тот же предел А.

□ Пусть при х-»х₀ Шп <р(х)=А, lim yi(x)=A.

х-»х₀ х-»х₀

Это означает, что для любого е>0 найдется такое число 5>0, что для всех х*х₀ и удовлетворяющих условию |х—Хо1<5 будут

верны одновременно неравенства

)-А\<£, |\|/(jc)-i4|<E

154

155

sinjc

Так как функции cos x и

или

А-ъ<<р(х)<А+е, А-Е<ц)(х)<А+г. (6.14)

Так как по условию функция Дх) заключена между двумя функциями, т.е.

то из неравенств (6.14) следует, что A-e<J(x)<A+e, т.е.

\ Лх)-А\<в. А это и означает, что lira f(x) =А.Ш _г

х->х₀