6.3. Бесконечно малые величины

Определение. Функция а(х) называется бесконечно малой вели-' чиной при х->лг<), или при х-юо, если ее предел равен нулю:

lim а(х) =0.

Х->Х₀(со)

Зная определение предела функции при х->х₀ и при х-х», мож­но дать развернутое определение бесконечно малой величины:

Функция а(х) называется бесконечно малой величиной при х->щ , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа е>0, найдется такое положительное число 8>0 (зависящее от s, д=Б(е)), что для всехх, не равныхх₀ и удовлетворяющих условию

1х-х_о|<5, , (6.6)

будет верно неравенство

I а(х) I <8. (6.7)

С помощью логических символов приведем это определение к виду:

• (Ve>0)(38=8(e)>0)(Vx* х₀: |х - х_о|

а(х) - бесконечно

малая при х -> х₀

при lim a(x) = 0 х-*х₀

Аналогично можно сформулировать определение бесконечно малой при х-*», если основное неравенство (6.7) рассматривать для достаточно больших х. Приводим его в краткой форме:

4?(e)>0)(Vx: \x\>S)

а(х) - бесконечно

малая при х -> при lim а(х) = 0

146

147

При Х-»оо

Например, функции y=cos х при х-> — и у=

2 2х - 7

есть бесконечно малые величины, ибо их пределы равны нулю. ^ Не следует путать бесконечно малую переменную величину а(х) с [ очень малым, но постоянным числом е>0, ибо по мере приближения? | .значений х к х₀ (при х-»х₀) или по мере увеличения по модулю, | значений х (при х-х») функция a(jc) в соответствии с (6.7) окажется¹ меньше этого числа s (по абсолютной величине). '

Связь бесконечно малых величин с пределами функций. Теоре­ма. Если функция Дх) имеет при х-*х₀ (х->оо) предел, равный А, то \

ее можно представить в виде суммы этого числа А и бесконечно малой а(х) при х-> х₀ (х-»оо)

Дх)=Л+а(х). (6.8)

□ Докажем теорему для случая х->х₀¹. По условию lim f(x) =

хх

=А. Это означает, что для любого s>0 существует такое число 8>0, что для всех х * х₀ и удовлетворяющих условию I х— х₀ | <8^ будет верно неравенство 1Дх)—А\<е, или, обозначив ос(х)= Дх)-Л, справедливо неравенство I а(х) | <е. Это и означает, что а(х) есть бесконечно малая при х-»х₀ .■ '

Верна и обратная теорема:

Теорема. Если функцию Дх) можно представить как сумму числа А и бесконечно малой а(х) при х-»х₀ (х-кю), то число А есть предел

этой функции при х->х₀ (х->оо), т.е. lim f(x)=A.

П По условию Дх)=Л+а(х). Пусть, например, х->х₀.

Так как функция а(х)=Дх)—А есть бесконечно малая при х->х₀, то для любого числа в>0 существует такое число 8>0, что

для всех х *х₀ и удовлетворяющих условию I х-х₀ I <8 верно не­равенство I а(х) | =| Дх)—А | <е.

Это и означает, что lim /(х) =А.«а* Ш

Свойства бесконечно малых величин:

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых вели­ чин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в том числе на постоянную, на другую бесконечно ма­ лую) есть величина бесконечно малая.

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

□ В качестве примера докажем свойство 1 для двух бесконечно малых а(х) и р(х) при х-»х₀. Покажем, что функция (а(х)+р(х)) также является бесконечно малой при х-> х₀.

По условию а(х) и р(х) есть бесконечно малые при х->х₀.

Это означает, что для любого е' =—>0 найдутся такие числа

2 ), 5₂>0, что для всех х *х₀ и удовлетворяющих условиям

|х-х₀

и

|х-х₀ |<8₂ .

выполняются соответственно неравенства

(6.9) (6.10)

(6.11)

и

Е

2

(6.12)

Если взять в качестве числа 8 минимальное из чисел 81И82, т.е. 5=min{8₁,8₂}, то неравенству \х—х₀ |<5 будут удовлетворять решения обоих неравенств (6.9) и (6.10), а следовательно, одно­временно будут верны неравенства (6.11) и (6.12). Складывая почленно неравенства (6.11) и (6.12), получим, что

¹ Здесь и далее доказательство основных сюйств бесконечно малых и бесконечно боль­ших величин, пределов функций проводим для случая х -* xq, рассматривая поведение

функции в некоторой окрестности точки до. т.е. для х е (х₀ - 8, х₀ + б), где §>0. Дока­зательство тех же утверждений для случая х ->•«: полностью идентично, если рассматри­вать поведение функции при достаточно больших (по модулю) значениях х, т.е. при | х |

>5(ще5>0)илипри хе(-=о;-5)и(^; + °°).

Используя свойство абсолютных величин (см. §5.2), т.е. |а(х)+р(х) | < I a(x) I +1 р(х) |, придем к более сильному неравенству

I <Х(Х)+Р(Х) | < Б. (6.13)

148

149

1

> - или I Дх) | >М, где Дх)= —— и М= - . А это и означает,

\. Произведение бесконечно большой величины на функцию, пре­дел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

Например, если функция Дх)= tgx есть бесконечно большая

величина при х-> — (ибо lim /(х) =00), функция ф(х)=4х— 3 при ² "I

х~> — имеет предел (2л—3), отличный от нуля, а функция у(х)=

=sinx — ограниченная функция, то функции Дх)ф(х)=(4х—3) tgx

fix) (по свойству 1), J{x)+\]i(x)=tg x+sinx (по свойству 2),

tgx 4х-3

Ф(х) (по свойству 3) являются бесконечно большими величи-

что

а(х)

а(х)

при х-»х₀ функция Дх) является бесконечно большой. Доказательство второго утверждения аналогично.И

Например, если функции >»=cos х при х-л — и у= при х-к»

L ZX — 7

есть величины бесконечно малые, то функции у= при х->—,

cos х 2.

2х - 7 у= при х-*ю есть бесконечно величины большие. И наоборот,

если функции y=tg х при х-> — , y=-j5x - 7 при х->оо есть величины

бесконечно большие, то функции у = =ctg x при х->— и

tgx 2

у= _u == при х-*оо есть величины бесконечно малые.

нами при х-> ^-.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими вели­ чинами. Теорема. Если функция а(х) есть бесконечно малая величи­ на при х-»х_о(х-*»), то функция Дх)~ является бесконечно

а(х) большой при х-»Хо(х-*)о). И обратно, если функция Дх) бесконечно

большая при х-> х₀ (х-хх>), то функция Дх)= есть величина бес- >

а(х)

конечно малая при х-»х₀

П Докажем первое утверждение для случая x->Xq , т.е. если а(х) — Ц

бесконечно малая, тоДх)= ——есть бесконечно большая при х-»х₀.

а(х)

По условию а(х) — бесконечно малая при х->х₀, следовательно, для любого е>0 найдется такое 5>0, что для всех х^х_ои удовлетво­ряющих условию I х— х₀1 <5 будет верно неравенство | а(х) | <е. По­следнее неравенство (в предположении, что в некоторой окрестно­сти точки х₀ при х*х₀ а(х);*0) равносильно следующему