6.2. Предел функции в бесконечности и в точке

Предел функции в бесконечности. С понятием предела число­вой последовательности а„ ⁼Ди) тесно связано понятие предела функции у= fix) в бесконечности. Если в первом случае пере­менная я, возрастая, принимает лишь целые значения, то во вто­ром случае переменная х, изменяясь, принимает любые значения.

Определение. Число А называется пределом функции y=f(x) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа е>0, найдется такое положи­тельное число S >0 {зависящее от е; S=S(e)), что для всех х таких, что I х I >S, верно неравенство:

142

143

(6.3)

\fix)-A\<s.

Этот предел функции обозначается lim f(x) = А или Дх)-»/4 при х-х».

С помощью логических символов определение имеет вид:

(а = lim Дх)1 о (V* > 0)(35 = S(e) > 0)(Vx:|x| > S)\fix)-A\ <е.

А-г

А+г

Смысл определения остается тем же, что для предела числовой последовательности: при достаточно больших по модулю значе­ниях х значения функции fix) как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).

Рис.6.4

Рис. 6.3

Выясним геометрический смысл предела функ­ции у= fix) в бесконечности. Неравенство (6.3) \fix)—A\<e равно­сильно двойному неравенству A~E<fix)< А+г, соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2е (см. рис. 6.3).

Итак, число А есть предел функции у= fix) при х-хю, если для любого б>0 найдется такое число <S>0, что для всех х таких, что I х | >S, соответствующие ординаты графика функции fix) будут заключены в полосе А—Е<у<А+в, какой бы узкрй эта полоса ни была.

ОПрнмер 6.2. Доказать, что

* ->» X

5л:+ 1

<8

-5

Решение. Для любого е>0 неравенство (6.3)

1 . | i.l

или т-т <в выполняется при I х \ > —.

И ⁸

144

Итак, для любого е>0 существует такое число S= — >0, что для

е

всех х, таких, что I х| >S, будет верно неравенство |Дх)—5 | <е, где

_,_v __r ; а это и означает, что lim /(x)=5>-

X Х->оо

Замечание. Приведенное выше определение предела при х-х» предполагает неограниченное возрастание независимой пере­менной х по абсолютной величине. В то же время можно сформули­ровать понятие предела при стремлении х к бесконечности оп­ределенного знака, т.е. при х -> +оо и при х ->• —«. В первом случае основное неравенство (6.3) должно выполняться для всех х таких, что х > S, а во втором — для всех х таких, что х <—S.

Предел функции в точке. Пусть функция y=fix) задана в неко­торой окрестности точки х₀, кроме, быть может, самой точки х₀.

Определение. Число А называется пределом функции fix) при х, стремящемся к xq (или в точке xq ), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа е>0, найдется такое положи­тельное число 8>0 (зависящее от е, 8=8(8)), что для всех х, не рав­ных х₀ и удовлетворяющих условию

1х^х_о|<5, (6.4)

выполняется неравенство

\fix)-A\<s. (6.5)

Этот предел функции обозначается lim f(x)= А или fix)^A

прих-*х₀.

С помощью логических символов определение имеет вид:

[ А = lim /(х)] о (Ve > 0)(36 = 5(б) > 0)(Vx * х₀: |х - х_о| < 6 )

\fix)-A\<e.

Смысл определения предела функции fix) в точке х₀ состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х₀, значения функции fix) как угодно мало отличаются от числа А (по абсо­лютной величине).

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Как отмечалось выше, неравенство \fix)—A\<s равносильно двойному неравенству A~R<fix)<A+e, соответствую­щему расположению части графика в полосе шириной 2е (см. рис.6.4.). Аналогично неравенство 1х—х₀ |<8 равносильно двой-

145

ному неравенству х₀ -8<х< х₀ +8, соответствующему попаданию точек х в 5-окрестность точки х₀.

Число А есть предел функции fix) при х-»х₀, если для любого s>0 найдется такая Ъ-окрестность точки х₀, что для всех х *х₀ из

этой окрестности соответствующие ординаты графика функции Дх) будут заключены в полосе А—Е<у<А+г, какой бы узкой эта полоса ни была. Щ

ОПример 6.3. Доказать, что Шп(2х + 3) =5. 1

1 Щ

Решение. Пусть е=0,1. Тогда неравенство (6.5) |(2х+3)— —51 <0,1 будет выполняться при Ix—1|<0,05. Аналогично при е=0,01 то же неравенство (6.5) будет верно при |х—11 <0,005.

Для любого е>0 неравенство (6.5) I (2х+3)—51 <е будет выпол-

няться при I х— 11 < —.

Итак, при любом е>0 существует такое число 8= —(для е=0,1

8=0,05; для е=0,01 8=0,005 и т.д.), что для всех х*1 и удовлетво* ряющих условию ! лг—11 <S верно неравенство 1Дх)—51 <е, гдв Дх)=2х+3; а это и означает, что lim f(x) =5.^

х->1 i

Замечание 1. Определение предела не требует существо-, вания функции в самой точке х₀, ибо рассматривает значения в некоторой окрестности точки х₀. Другими словами, рас-

сматривая lim f(x), мы предполагаем, что х стремится к x_Q, но

X->XQ

не достигает значения х₀. Поэтому наличие или отсутствие пре­дела при х->х₀ определяется поведением функции в окрестности точки х₀, но не связано со значением функции (или его отсутст­вием) в самой точке jc₀ .

Замечание 2. Если при стремлении х к х₀ переменная х принимает лишь значения, меньшие х₀, или наоборот, лишь значен! ния, большие х₀, и при этом функция fix) стремится к некоторому^, числу А, то говорят об односторонних пределах функции Дх) соответ­ственно слева lim f(x) и справа lim Дх) = А. Очевидно, что

j(+0

определение этих пределов будет аналогично рассмотренному выше

при х-»х₀, если вместо значений х, удовлетворяющих условию (6.4), при которых верно неравенство (6.5), рассматривать значения х та­кие, что х₀ —8<х< х₀ при х->х₀ -0 (слева), или значения х такие, что х₀ <х< х₀ +8 при х-»х₀ +0 (справа).

Разумеется, если lim /(x)= lim /(х)=Я, то lim f{x)=A.