9.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Из изложенного выше следует, что Ay=dy+a(Ax)-Ax, т.е. при­ращение функции Ау отличается от ее дифференциала dy на бес­конечно малую величину более высокого порядка, чем dy=f(x)Ax.

Поэтому при достаточно малых значениях Ах Ay « dy или Дх+ +Ах)- Дх)«/'(х)Дх, откуда

Дх^Дх)«Дх)+/'(х)Ах.

Чем меньше значение Ах, тем точнее формула (9.5). Формула (9.5) может оказаться полезной в приближенных вы­числениях.

[>Пример 9.3. Вычислить приближенно: а) #6,64 ; б) tg 46°. Р е ш е н и е. а) Получим вначале приближенную формулу для вычисления корней любой л-й степени. Полагая Дх)= ?[х , най-

1 I-l !fc

f'(x)= — x" — — и в соответствии с (9.4) Щх + Ах &Щх +

пх

пх

В качестве х возьмем число, наиболее близкое к 16,64, но что­бы был известен ух , при этом Ах должно быть достаточно ма­лым. Очевидно, следует взять х = 16, Ах - 0,64 (но, например, не

х = 9, Ах =7,64!). Итак, #6,64 «16[\ + ~^~\ = 2-1,01=2,02. б) Полагая Xx)=tg x, найдем /'(*)=—т-

СО"

(9.4)tg(x + Ax)«tgx ' **

cos² х

Г^{71 л} 1 я я 1 п п

=tg -+ , возьмем х=— и Дх= . Тогда tg46°=tg -+

U 180J 4 180 U 180

(9.5)

дем

п

Ах » ^с 1 + — . В данном примере

\ пх) ^н

+ или

и в соответствии с

cos х . Учитывая, что tg46° = tg(45° + 1°)=

«tg-4

i 4 _cos2^ 180 90

Используй дифференциал, по формуле (9.5) легко получить формулы, часто используемые на практике при а<<1:

(1±а)"«1±ла; ^1±а»1±—; »1+а, е« «1+а , 1п(1±а) « ±а;

л 1±а

sin a « а, cos а « 1 и т.д.

2