8.9. Решение задач

О Пример 8.15. Найти пределы:

a) li

; б) li

1-JC

Р е ш е н и е. а) Имеем неопределенность вида [оо—оо]. Вынося

/1 + х¹ , придем к неопределенности вида | —

lim (Vl + х² - л/l + х³) =[00-00]= lim

О

Рис. 8.23

Функция убывает на интервалах (-да,—1) и (—1, да) и возраста­ет на интервале (—1, 1).

6°. Интервалы выпуклости и точки перегиба:

-> л -х²

у"=2е² {-х){\-х²) + 2е ² = ~2хе 2 (3-х2); у "=0 при х=0 и х= ±>р . Знаки второй производной изображены на рис. 8.24.

У" — ^Z^+^V^— ^f "т~ ^ Таким образом, функ-у f\ --/I \J 0 Г\~Р V/ х ция выпукла вниз на ин-Рис. 8.24

234

= lim

\\ + х² _^г0 1 О

235

Vl + x² Далее применим правило Лопиталя:

Глава 9. Дифференциал функции 9.1. Понятие дифференциала функции

Пусть функция y=f{x) определена на промежутке X и диффе­ренцируема в некоторой окрестности точки хеХ. Тогда существу­ет конечная производная

lira -^ =/'(*)• д*-*0 Ах

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать

/(х) Ах

где а(Лх) — бесконечно малая величина при Лх-»0, откуда

Ay=f'(x)Ax +а(Дх)Ах. (9.1)

Таким образом, приращение функции Ау состоит из двух сла­гаемых: 1) линейного относительно Ах; 2) нелинейного (представ­ляющего бесконечно малую более высокого порядка, чем Ах, ибо

а (Ах) Ах

(см. замечание в § 6.3) lim = lim <х(Дх) =0).

Лх-»0 Дх Дх-»0

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Ах часть приращения функции, равная про­изведению производной на приращение независимой переменной

dy=f'(x)Ax. (9.2)

|>Пример 9.1. Найти приращение и дифференциал функции

у=2х² - Зхпри х=10 и Ах=0,1.

Решение. Приращение функции

4У = Л* + Ах) -Л*) = [2(jc + Ах)² - 3(х + Ах)] = Дх(4х + 2Дх -3).

Дифференциал функции dy=f'(x)Ax=(4x— 3)Дх.

При х=10 и Ах=0,1 имеем Aj>=3,72 и dy=3,70. Различие между Ау и dy составляет всего 0,02, или 0,5%>-

D Пример 9.2. Найти дифференциал функции у=х. Решение. dy=dx=x'-Ax, откуда

ах=Ах,

т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.^-

Поэтому формулу для дифференцирования функции можно записать в виде

dy=f'(x) ах, (9.3)

откуда/'(х)= —. Теперь ъил видим, что —не просто символиче- dx ax

У, i

ское обозначение производной, а обычная дробь с числителем dy и знаменателем ах.

Геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции у=Лх) произвольную точку М(х, у). Дадим аргументу х приращение Ах. Тогда функция у = Дх) получит приращение 4У=Дх+ Ах)-Дх) (см.рис. 9.1)

Проведем касательную к кривой у = Дх) в точке М, которая образует угол а с положительным направлением ори Ох, т.е. fix) =tg а. Из прямоугольного треугольника MKN

KN=MN-tg ос=Дх tg ос=/'(х)Дх,

т.е. в соответствии с (9.2) dy=KN.

Таким образом, дифференциал функции есть приращение орди­наты касательной, проведенной к графику функции у=Лх) в данной точке, когда х получает приращение Ах.

Не следует думать, что всегда dy<Ay. Так, на рис. 9.2 показан случай, когда dy>Ay.

Свойства дифференциала. Свойства дифференциала в основ­ном аналогичны свойствам производной. Приведем их без дока­зательства:

1. dc=0. 4. d(uv)=v du+u dv.

2. d(cu)=c du.

_ ,{u) vdu-udv 5. d\-\ = j

3. d(u±v)=du±dv.

Остановимся теперь на важном свойстве, которым обладает дифференциал функции, но не обладает ее производная.

Инвариантность формы дифференциала. Рассматривая выше У⁼Л^Х) ^как функцию независимой переменной х, мы получили, что dy=f'{x)dx. Рассмотрим функцию y=flu), где аргумент и=<р(х) сам является функцией от х, т.е. рассмотрим сложную функцию У ⁼/[ф(*)]- Если y=ftu) и и=ф(х) — дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции в соот­ветствии с теоремой, приведенной в §7.4, равна у' =f'{u)-u'.

Тогда дифференциал функции

dy=f(x) dx=f'(u)-u'dx=f(u) du,

ибо по формуле (9.2) u'dx=du. Итак,

(9.4)

dy=f'(u) du.

Последнее равенство означает, что формула дифференциата не изменяется, если вместо функции от независимой переменной х рассматривать функцию от зависимой переменной и. Это свойст­во дифференциала получило название инвариантности (т.е. неиз­менности) формы (или фдрмулы) дифференциала.

Однако в содержании формул (9.3) и (9.4) все же есть разли­чие: в формуле (9.3) дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, т.е. ах=Ах, а в формуле (9.4) дифференциал функции du есть лишь линейная часть при­ращения этой функции Аи и только при малых Ах du » Аи.