8.8. Общая схема исследования функций и построения их графиков

При исследовании функций и построении их графиков реко­мендуется использовать следующую схему:

1°. Найти область определения функции.

2°. Исследовать функцию на четность—нечетность.

3°. Найти вертикальные асимптоты.

4°. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5°. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6°. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7°. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Заметим, что исследование функции проводится одновремен­но с построением ее графика.

1 + х²

ОПример 8.13. Исследовать функцию у= =- и построить

1-х²

ее график.

Решение. 1°. Область определения (—оо, — 1)U(~ I, 1)U U(l,+oo), т.е. х*±1.

2°. Функция четная, так как f(—x) =f(x), и ее график симмет­ричен относительно оси ординат.

3°. Вертикальные асимптоты могут пересекать ось абсцисс в точках х = ±1. Так как пределы функции при х-» 1—0 (слева) и при х->1+0 (справа) бесконечны, т.е.

-=—oo и lim

lim

=+оо, то прямая х=1 есть верти-

кальная асимптота. В силу симметрии графика /(х) х = — 1 также вертикальная асимптота.

у=—\ — горизонтальная асимптота.

5°. Экстремумы и интервалы монотонности.

у'~0 при х=0

, 2х(1-х²)-(1 + х²)(-2х) 4х Найдем у '= —- ' \ , ^v— -

(1-х²)² (1-х²)²

и у' не существует при х = ±1.

Однако критической является только точка x_Y = 0 (так как

значения х = ±1 не входят в область определения функции). По­ скольку при х< 0 /'(х)<0, а при х>0 /'(х)>0 (рис.8.21), то х=0 — точка минимума и

-1>* 0 ^* 1 Рис. 8.21

^, /min⁼⁼/°)⁼¹ — МИНИМУМ

х функции. На интервалах (—оо,—1) и (—1, 0) функция убывает, на интервалах (О, 1) и (1, оо) — возрастает.

6°. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Найдем

„_ 4(1 - х²)² - 4х • 2(1 - х²)(-2х) _ 4(1 + Зх²) ^У (1-х²)⁴ (1-х²)³

Очевидно, что у">0 на интервале (—1, 1) и функция выпукла вниз на этом интервале. у"<0 на интервалах (—оо,—1), (1, оо), и на

-1	\	У
	0 |_ -1	j	1 "х

этих интервалах функция выпукла вверх. Точек пере­гиба нет.

7°. Точки пересечения с осями. /(0)=1, т.е. точка пере­сечения с осью ординат (0, 1). Уравнение /(х)=0 решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.

Рис. 8.22

График функции изобра-

232

233

Пример 8.14. Исследовать функцию у=2хе ² и построить ее график.

Решение. 1°. Область определения (—да, оо).

2°. Функция нечетная, так как Д—х)=—Дх) и график ее сим­метричен относительно начала координат.

3°. Вертикальных асимптот нет, так как функция определена при всех действительных значениях х.

4°. Поведение функции в бесконечности:

hm f(x)~ hm ——j- == — = lim -= lim т~®-

X-»+cc X—»+oo X L^J ^X~^>+0° ( ^x^\ X—» + oo X

<?^T \e~\ xi^

В силу нечетности функции lim /(jc)=O, т.е. прямая у=0

Х->-оо

(ось абсцисс) — горизонтальная асимптота. 5°. Экстремумы и интервалы монотонности:

if if! zi.

у'=2е ² +2хе ² (-х) = 2е ² (1-х²);

у' = 0 при х = ±1, т.е. критические точки х±=— 1, х= 1. Знаки производной изображены на рис. 8.23.

Таким образом, х=—1 есть точка минимума; х=1 — точка мак­симума и

_^ /min ⁼-Д~ 1 )⁼~~ ~7= ^Ю~Ь21,

- 1

тервалах (->/з~, 0) и (V?, °°) и выпукла вверх на интервалах (—оо, J и (0, -Jb), а Ху——-^, jc₂ = V^ — точки перегиба.

7 °. Д0)=0. Уравнение . Дх)=0 имеет единствен­ное решение х=0, т.е. график функции пере- х секает оси в начале координат (0; 0). График функции изо-

Рис. 8.25 бражен на рис. 8.25.^