Глава 8. Приложения производной

Прежде чем перейти к наиболее важным приложениям произ­водной при исследовании функций и построении их графиков, рассмотрим несколько основных теорем.

8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х₀ этого промежутка, то производная функции

в этой точке равна нулю, т.е. /' (х₀) = 0.

□ Пусть функция y-fix) дифференцируема на промежутке X и в точке д:₀ еХпринимает наименьшее значение (рис. 8.1).

Тогда Дх₀ +Дх;)^Д jc₀ ), если л:₀ +Ахе еХ и, следовательно, величина ^У⁼Л^хо⁺^^х)~Л^хо) ^ 0 при достаточ­но малых Ах независимо от знака Ах

Отсюда ^- > 0 при Дх>0 и ^- < 0 Дл: Ах

при Дх<0. Переходя к пределу при

Дх->0+ (справа) и при Дх-»0— (слева),

lim ■=-

Лх->0- Дх

х получим lim —;

Дх->0+ Дх

Рис. 8.1

По условию функция у =Дх) диф­ференцируема в точке х₀, следовательно, ее предел при Дх->0 не

должен зависеть от способа стремления Дх->0 (справа или слева), т.е. lim — = lim —, откуда следует, что /' (хо) = 0.

Аналогично рассматривается случай, когда функция Дх) при­нимает в точке л;₀ наибольшее значение.И

b-a □ Введем новую функцию g(x) следующим образом:

.... f{b) - Да) . . g(x)=fix)-^1Л-¹—^J-±-^L (х-а). Ь-а

Функция g(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она не­прерывна на отрезке [а, Ь], дифференцируема на интервале (я, Ь) и принимает на его концах равные значения:

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. Теорема Лагранжа. Пусть функция у = Дх) удовлетворяет сле­дующим условиям:

1. непрерывна на отрезке [а, Ь];

2. дифференцируема на интервале (а, Ь);

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка %е{а, Ь), в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке,

а)

на рис. 8.3 нарушено только одно условие: на рис. 8.3а — непре­рывность на отрезке [а, Ь], на рис. 8.36 — дифференцируемость на интервале (а, Ь), на рис. 8.3в — равенство значений Да)= Дй). В результате не существует такой точки % е (а,Ь), в которой

Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: в точке наи­большего или наименьшего значения, достигаемого внутри проме­жутка X, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Ферма может быть использована для доказательства так называемых теорем о среднем, к рассмотрению которых мы переходим.

Теорема Ролля. Пусть функция у =/(*) удовлетворяет следую­щим условиям:

1. непрерывна на отрезке [а, Ь];

2. дифференцируема на интервале {а, Ь);

3. на концах отрезка принимает равные значения, т.е. j(a)=f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая

точка £е(д, Ь), в которой производная функция равна нулю:

/'(§) = а

D На основании теоремы Вейерштрасса (см. § 6.7) функция,

непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего М и наименьшего т значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, то по условию они равны (т.е. т=М), а это значит, что функция тождественно постоянна на отрезке [а, Ь]. Тогда производная равна нулю во всех точках этого отрезка. Если же хотя бы одно из этих значений — максимальное или мини­мальное — достигается внутри от­резка (т.е. т < М), то производная в соответствующей точке равна нулю

в силу теоремы Ферма.И

Отметим геометрический смысл теоремы Ролля (см.рис. 8.2): найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абс­цисс; в этой точке производная и будет равна нулю (заметим, что на рис. 8.2 таких точек две: ^ и £₂ )• Если f(a)=j(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

Следует отметить, что все условия теоремы Ролля существен­ны и при невыполнении хотя бы одного из них заключение тео­ремы может оказаться неверным. Так, для функций, приведенных

b - а Следовательно, существует точка

или

(а, Ь) такая, что g'(S) — 0

Ь-а

210

211

Заключение (8.1) теоремы Лагранжа может быть записано и в виде:

. (8.2)

Выясним механический и геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Приращение fib)—fia) — это изменение функции на отрезке

№)-№

[а,

— средняя скорость изменения функции на

Ь-а

этом отрезке; значения же производной в точке — это "мгновенная" скорость изменения функции. Таким образом, теорема утверждает: существует хотя бы одна точка внутри от­резка такая, что скорость изменения функции в ней равна средней

У>	Л	В/
	Яа)Г !
0	а 4	Ь х

скорости изменения функции на этом отрезке.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис. 8.4.

Рис. 8.4

Если перемещать прямую АВ па­раллельно начальному положению, найдется хотя бы одна точка Е,е(а, Ь), в которой касательная к графику fix) и хорда АВ, проведенная через концы дуги АВ, параллельны (ибо в соответствии с (4.5) угловой коэф-

Ь-а

фициент секущей к_АВ =

а касательной — к = /'(!))•

Следствие. Если производная функции fix) равна нулю на некотором промежутке X, то функция тождественно постоянна, на этом промежутке.

□ Возьмем на рассматриваемом промежутке X отрезок [а, х]. Согласно теореме Лагранжа fix)—fia)=f'(E,)(x—a), где а<^<х. По условию/'(£)=0, следовательно, Дх)—Дд)=0, т.е. fix)=fia)=coiM.*