7.4. Производная сложной и обратной функций

Пусть переменная у есть функция от переменной и iy=J{u)), a переменная и в свою очередь есть функция от независимой пере­менной х, т.е. задана сложная функция у =f[<p(x)] (см. § 5.5).

Теорема. Если у =Ди) ми- ср(х) — дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е.

у=Г(и)-и: (7.16)

□ Дадим независимой переменной х приращение Ах * 0. Тогда

функции и = ф(х) и у =Ди) соответственно получат приращение Аи и Ау.

Предположим, что Аи ф 0. Тогда в силу дифференцируемое™ функции у =Ди) можно записать

lim ^ =/'(«), д«->о Аи

где/'(к) — величина, не зависящая от Аи.

На основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций

Значение производной в точке х = 1 есть у '(1) — 1 (—1 + 1) =

4 \

=4,25.

б) Сначала вынесем постоянный множитель за знак производ­ ной:

>>'=15(х⁴-1)' = 15-4х³ =60х³ ;>>'(!) = 60.

в) По формуле (7.15)

2 Г 3 1

(х³ - l)'Vx - (х³ - l)(Vx)' ^Х ~ ~ 2-Jx 5х³ +1

где а(А«) — бесконечно малая при Ди-»0, откуда Aj= f'(u)Au+a(Au)Au.

(7.17)

Это равенство будет справедливо и при Аи — 0, если полагать, что ос(Аи=0)=0 (т.е. доопределить таким образом функцию а(Ди) при Ди=0).

Разделив обе части равенства (7.17) на Дх*0, получим

Ау

-Г = Дх

Аи Аи

(7.18)

— +<х(Ды) —. Дх Дх

Так как по условию функция и=<р(х) дифференцируема, то она непрерывна в точке х, следовательно, при Дх->0 Аи->0 и <х(Дм)-»0.

184

185

Поэтому, переходя к пределу при Ajc-»O в равенстве (7.18), по­лучим

у'= lim — = /'(«)•«'.

Дх-»ОДХ

Замечание. Если ограничиться случаями, что при Ддй*0, Ди*0, доказательство теоремы можно провести проще, исходя из

Ay Ay Аи

очевидного равенства — = — и переходя в нем к пределу

Ах Аи Ах

при Ах-уОМ

Правило дифференцирования сложной функции (7.16) может

быть записано и в других формах: у'-у'_и-и' или Щ- = ^-.~.

ах аи ах Выше мы привели формулы для производной степенной

функции у=х" и ее частных случаев (формулы (7.8) — (7.10)).

С учетом полученного правила дифференцирования сложной функции (7.16) для функции у = и", где и = и(х), можно записать

(«")'= пи

")'= пи"'¹

«', (7.19)

•и, (7.20)

•и

(7.21)

J и² >Пример 7.7. Найти производные функций:

лЗ.*ч.._»/*--1.-ч 12

а) у =

5)³; б) у =

I х¹ +1 ' '' х² + х +1 Р е ш е н и е. а) Функцию можно представить в виде у=и³, где u=Jx + 5. Поэтому на основании формулы (7.19)

Ах

3(х²

l)(x² - I)²

2х(х² +1) - (х² - 1) • 2х _ (х² +1)²

1

1

в) Вынося постоянный множитель 12 за знак производной и используя (7.21), получим

=12|-

у'=12

(х² +х + 1)' =

(х^г + х + 1У

х² + х +1 _ -12(2х + 1)

(х² +х +1)² '"

Перейдем к рассмотрению производной обратной функции.

Пусть у = f(x) — дифференцируемая и строго монотонная функция на некотором промежутке X. Если переменную у рас­сматривать как аргумент, а переменную х как функцию, то новая функция х = <р(у) является обратной к данной (см. § 5.5) и, как можно показать, непрерывной на соответствующем промежутке Y.

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не рав­ной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е.

<=i-. (7.22)

Ух

П По условию функция у=Лх) дифференцируема и у'{х) =

=Пх) *0.

Пусть Ду*0 — приращение независимой переменной у, Ах — соответствующее приращение обратной функции х = <р(у). Тогда справедливо равенство

^= ¹ . (7.23)

Ау Ау I Ах

Переходя к пределу в равенстве (7.23) при Д^->0 и учитывая, что в силу непрерывности обратной функции Лх-»0, получим

б) Имеем у =1/п, где и = (7.19)

JC²-1

—= , поэтому по формулам (7.16) и

X +1

1

1

^у

(Aj / Ах)

.. Ах lim — =

АУ

Формула (7.22) имеет простой геометрический смысл. Если у'_х выражает тангенс угла наклона касательной к кривой y=flx) к оси Ох, то х'у _i — тангенс угла р наклона той же касательной к оси Оу,

186

187

Используем правило дифференцирования обратной функции (7.22)

у - * - ¹ - ¹ - ¹

^{% х}'у ^СО&У +Vl-sin²^ yl\-x²

При х=±\ производной не существует. Итак,

(arcsin х)' = -== и (arcsin и)' = . • и'. (7.32)

№ п/п	Функция у	Производная	№ п/п	Функция j	Производная
23	arccos «	1	24	arctg м	1 *
					• ■ ■ и 1 + и2
			25	arcctg «	1
					1+«2

е) у — arccos х, у = arctg х, у = arcctg x.

Вывод формул аналогично п. д) — формулы соответствующих производных приведены в таблице.

Производная неявной функции. Выше было рассмотрено диф­ференцирование явных функций, заданных в виде у=Дх). Рас­смотрим дифференцирование неявной функции, заданной урав­нением F(x, y)=0 (см. § 5.5).

Для нахождения производной функции у, заданной неявно, нуж­но продифференцировать обе части уравнения, рассматривая у как функцию от х, а затем из полученного уравнения найти производ­ную у '. Фактически этим методом мы пользовались при выводе

производной функции у = е^х ,у = х" ,у = /(х)^^х' и в примере 7.86 после логарифмирования рассматриваемых функций.

D Пример 7.9. Найти производную функции у, заданную урав­нением х² -ху + \пу— 2, и вычислить ее значение в точке (2; 1).

Решение. Дифференцируя обе части равенства и учиты-

у' вая, что у есть функция от х, получим 2х-у-осу'+ — =0, откуда

_у

^У ху-1 •

Значение производной при х = 2, у = 1 .у'(2)= 3.^

Производные высших порядков. До сих пор мы рассматривали производную f'(x) от функции f[x), называемую производной пер­вого порядка. Но производная f'(x) сама является функцией, ко­торая также может иметь производную.

Производной п-го порядка называется производная от произ­водной (и—1)-го порядка.

Обозначение производных: f"(x) — второго порядка (или вто­рая производная), f'"(x) — третьего порядка (или третья произ­водная).

Для обозначения производных более высокого порядка ис­пользуются арабские цифры в скобках или римские цифры, на­пример, /⁽⁴\х),...,/^п\х) или /"(х) и т.д.

192

7 Высшая математика для экономистов

193

48. Составить уравнения общих касательных к кривым у=х² и у=—2х²+4х—4.

49. Тело движется прямолинейно по закону s{t) = ———, где

s измеряется в метрах, a t — в секундах. Найти скорость и уско­рение тела в момент / = 6.

Найти производные функций, заданных неявно:

7.50. х² + ху + у² = 6. 7.51. е^х sin у - е'^у cos x =0. Найти производную и-го порядка функций:

7.52. у= х". 1.ЪЪ.у=а^х.

54. Объем продукции и (усл. ед.) цеха в течение рабочего дня представляет функцию и = -t* - 5t² + 75t + 425 , где t — время (ч). Найти производительность труда через 2 ч после начала работы.

55. Зависимость между издержками производства у (ден. ед.) и объемом вьшускаемой продукции х (ед.) выражается функцией _у=10х-0,04х³. Определить средние и предельные издержки при объеме продукции, равном 5 ед.

56. Функции спроса q и предложения s от цены р выражают­ ся соответственно уравнениями q = 7—р И1 = р+\.

Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и пред­ложения для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 5% от равновесной.