Глава 6. Пределы и непрерывность 6.1. Предел числовой последовательности

Определение. Если по некоторому закону каждому натурально­му числу п поставлено в соответствие вполне определенное число а„, то говорят, что задана числовая последтетельность \а_п}:

Другими словами, числовая последовательность — это функция натурального аргумента: а_п —J{n).

Числа а_г,

а„ называются членами последовательности,

а число а_п — общим или п-м членом данной последовательности.

Примеры числовых последовательностей¹: 2, 4, 6, 8, ..., 2я, ... (монотонная, неограниченная), (не монотонная, ограниченная),

1,0,1,0,

2 3

,5 4

(-1)"

1 +

(6.1)

п

*!■

(не монотонная, ограниченная).

Рассмотрим числовую последовательность (6.1). Изобразим ее члены точками числовой оси (рис. 6.1).

a₂

1&ь

II L 1097

"5-5

^а\

2

II L I 110975

"5-56 4

Рис. 6.1

Можно заметить, что члены последовательности а„ с ростом я как угодно близко приближаются к 1. При этом абсолютная ве­личина разности \а„ -1[ становится все меньше и меньше.,Дейст­вительно:

^ ^\\ ,\_n\ ,..._>

т.е. с ростом я \а„ -1| будет меньше любого, сколь угодно малого положительного числа.

Определение. Число А называется пределом числовой последо­вательности {а_п}, если для любого, даже сколь угодно малого по­ложительного числа е>0, найдется такой номер N (зависящий от е, N= Ще)), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство

(6.2)

а„~А\<е.

Предел числовой последовательности обозначается lim а_п = А или а„ -ь4 при я-*». Последовательность, имеющая предел, на­зывается сходящейся, в противном случае — расходящейся.

Используя логические символы: квантор общности V (вместо слова "для любого") и квантор существования 3 (вместо слова "найдется"), символ равносильности <=>, определение предела можно записать в виде

а„ -А |

(А= lim а„

Смысл определения предела числовой последовательности со­стоит в том, что для достаточно больших я члены последователь­ности {я„}как угодно мало отличаются от числа А (по абсолют­ной величине меньше, чем на число е, каким бы малым оно ни было).

[>Пример 6.1. Доказать, что для последовательности (6.1) lim а„=\.

л-»°о

<е, т.е. — <б вьшолнется при

я ^г

[>Р е ш е н и е. Пусть, например, б=0,1. Тогда неравенство (6.2) I а„ -11 <0,1 или [1 + ^Щ - ll я>10. Аналогично для 8=0,01 I а_п -11 <0,01 при я>100.

Для любого е>0 неравенство (6.2) I а_п— 1 |<е или — <е выпол-

няется при п> - . е

Итак, при любом е>0 существует такой номер N= — (или рав-

е

ный целой части —), что для всех n>N (при е=0,1 для л>10, при

8

е=0,01 для я>100 и т.д.) выполняется неравенство I а„— l|<e, a это и означает, что lim а. =1.^

Я->оо

Выясним геометрический смысл предела число­вой последовательности.

Расположим члены последовательности а_х, а^, ..., а„, ... , на

числовой прямой. Неравенство (6.2) I а„— А\<е равносильно двойному неравенству А—е< а„ < А+е, соответствующему попада­нию членов последовательности а„ в е-окрестность точки А (рис.6.2).

2s

Рис.6.2

Итак, число А есть предел числовой последовательности {а„}, если

для любого е>0 найдется номер N, начиная с которого (при n>N) все члены последовательности будут заключены в е-окрестности точки А, какой бы узкой она ни была. Вне этой е-окрестности может бьпъ лишь конечное число членов данной последовательности.