6. Векторлар және оларға қолданылатын сызықтық амалдар. Екі вектордың скалярлық көбейтіндісі. Вектор және оған амалдар қолдану

Негізгі ұғымдар. Мектеп курсынан белгілі векторлар жөніндегі білімімізді жалпылайық.

Басы А, соңы В нүктесі болатын бағытталған кесінді вектор деп аталады. Оқулықтарда векторларды немесе , кейде тек қалың әріптермен АВ белгілеу түрлері кездеседі. Сол сияқты векторларды бір әріппен де белгілей береді ( = , , а). векторының ұзындығы деп АВ кесіндісінің ұзындығын айтады және деп белгілейді. Басы мен соңы беттесетін вектор нолдік вектор деп аталады, = және ұзындығы нолге тең.Бір түзудің не өзара параллель түзулер бойында орналасқан векторлар коллениар векторлар деп аталады. және векторларының қосындысы «үшбұрыш» не «параллелограмм» ережесімен анықталады:

және векторларының - айырымы деп -ға қосқанда

векторы алынатын = - векторын айтады.

векторының санға көбейтіндісі деп ұзындығы болатын, бағыты >0 болғанда векторымен бағыттас, <0 болғанда векторымен қарама-қарсы бағытта болатын векторын айтады. Суретте, = 2, =2 ; = -1, =- .

2Вектордың скаляр көбейтіндісі

Екі вектордың скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейтіндісіне тең шаманы айтады: .

Тік бұрышты декарт координаталар жүйесінде векторының басы мен соңының координаталары белгілі болсын және . Сонда векторын координаталары арқылы былай жазуға болады: = векторының басы координаталар басымен беттесетіндей етіп өз-өзіне параллель көшірсек, онда векторының координатасы вектордың соңының координаталарымен бірдей болатынын аңғару қиын емес. Жазықтықта вектордың координатасын екі сан анықтаса, айталық , кеңістікте үш сан анытайды, .

Вектордың ұзындығы оның координаталарының квадраттарының қосындысынан алынған квадрат түбірге тең: . және векторлары координаталарымен берілген болса олардың қосындысы мынадай түрде анықталады: .Ал векторын санға көбейту мынадай түрде анықталады: . және векторларының скаляр көбейтіндісі мынадай:

8. Функцияның нүктедегі шегі. Тамаша шектер Анықтама. Егер алдын ала берілген, мейілінше аз санына саны табылып, шартын қанағаттандыратын барлық х үшін теңсіздігі орындалса, онда А саны f(x) функциясының х аргумент х₀-ге ұмтылғандағы шегі деп аталады да, былай жазылады: .Анықтамадағы теңсіздікті ашсақ, мынадай қос теңсіздік аламыз: . интервалды нүктесінің -маңайы дейді. Сол сияқты теңсіздікті ашсақ: . интервалды А нүктесінің -маңайы дейді.

1-ші тамаша шек

Теорема. функциясы x=0 нүктеде анықталмаған, бірақ жағдайда шегі бар және Осы шекті бірінші тамаша шек деп атайды.

Бірінші тамаша шек салдары:

1) ,

2) , 3) .

Мысал.

а).

б).

Екінші тамаша шек

Теорема. функциясының жағдайда шегі бар және

Осы шекті екінші тамаша шек деп атайды. Мұндағы иррационал саны Эйлер саны екені белгілі.

Екінші тамаша шек салдары:

1) , a=e болғанда ;

2) ,

a=e болғанда ;

3)

Мысал. а) екенін көрсет.

Шешуі. деген білгілеу енгізейік. Осыдан . Және де кезде . Енді шек есептесек .

б)