9.Туынды ұғымы, геометриялық және физикалық мағынасы. Функция туындысы

Көп жағдайда функция мәнін білумен қатар аргументтің өзгерісіне байланысты функцияның өзгеру жылдамдығын білу де маңызды болады.

y=f(x) функциясын қарастырайық (1-сурет). Осы функция кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болсын. Кез келген үшін айырма х аргументтің нүктесіндегі өсімшесі деп аталады да, деп белгіленеді. Сонымен, = x = + .Ал айырма f(x) функциясының нүктесіндегі өсімшесі деп аталады да, деп белгіленеді. Сонымен, = = .

2-суретте көрсетілген y=f₁(x) және y=f₂(x) функцияларды қарастырайық. Аргумент мәні шамаға өзгергенде бұл функциялардың мәндері де белгілі бір шамаға өзгереді. Суретте f₂(x) функцияның мәні f₁(x) функцияға қарағанда көп өзгереді (өседі).

Аргумент мәні бірдей шамаға өзгерген кездегі функциялардың өзгерістерін салыстыру үшін функцияның өзгеріс жылдамдығы ұғымын енгізеді. Оны орташа жылдамдық дейді де, функция өзгерісінің аргумент өзгерісіне қатынасымен анықтайды:

Орташа жылдамдық	=	Функция өзгерісі
		Аргумент өзгерісі	=

Орташа жылдамдық х₀ нүктесіне ғана қатысты қарастырылмай, аргумент өзгерісінен де байланысты болады. Функция жылдамдығын аргумент өзгерісінен байланыссыз қарастыру үшін функцияның нүктедегі жылдамдығын қарастырады. Функцияның нүктедегі жылдамдығын анықтау үшін х-ті х₀ аргументке шексіз жақындатады, немесе . Осы кезде үзіліссіз функция өзгерісі нолге жақындайды, яғни . Нолге шексіз жақындайтын функция өзгерісінің нолге шексіз жақындайтын аргумент өзгерісіне қатынасы функцияның х₀нүктедегі өзгеріс жылдамдығын береді. Функцияның х₀нүктедегі осы өзгеріс жылдамдығын f(x) функциясының х₀нүктедегі туындысы деп атайды: .

Анықтама.Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған кездегі шегі функция туындысы деп аталады. Әдетте оны немесе деп белгілейді:

.Туындының геометриялық мағынасы: туындысы функциясының графигіне нүктесінде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті болады. Осы жанаманың теңдеуін былай жазады: _.Туындының механикалық мағынасы. Егер айнымалысын уақыт деп есептеп,  функциясы дененің жүрген жолын сипаттаса, онда дененің уақытындағы жылдамдығын білдіреді.

10.Кері және күрделі функциясының туындысы. Мысалдар. Күрделі функция туындысы

f(u(x)) күрделі функция туындысы: .

u=g(x) дифференциалданатын функция болсын. Сонда

№№	y=f(x)	y=f(u(x))
1
2
3
4	, 0<a 1
5
6	, 0<a 1
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Мысалы, формуласын дәлелдейік.y=lnx функциясының өсімшесі шаманы -ке бөліп туынды анықтамасын қолданайық:

,

мұнда екінші тамаша шектің салдарын қолдандық. Формуланы анықтама бойынша дәлелдедік.

Кері функцияның туындысы

y=f(x) функциясына кері функция (x=f ^{- 1}(y)) туындысы: .

11. Функцияның дифференциалы және жуықтап есептеуге қолдану. Мысалдар. Функцияның дифференциалы. функциясының шектелген туындысы бар болсын, онда: , демек шексіз аз шама.

Онда функцияның өсімшесі былай жазылады: . Осы теңдікте екінші қосылғыш , ке қарағанда жоғарғы ретті шексіз аз шама болғандықтан, бірінші қосылғыш ке эквивалентті шама болады.

Анықтама.Функцияның туындысының аргументтің өсімшесіне көбейтіндісін дифференциал деп атайды және мына түрде жазады: . Дербес жағдайда, егер болса, онда , осыдан және осыны пайдаланып дифференциалдың формуласын былай жазуға болады: . Осыдан , яғни туынды функцияның дифференциалының аргумент дифференциалына бөлінген мәніне тең.

Дифференциалды есептеу ережесі. Айталық және дифференциалданатын функциялар болсын,

1. , мұндағыс –сан.

2. ,

3. , егер .

4. Егер функциясы нүктесінде дифференциалданатын, ал нүктесінде дифференциалданатын болса, онда күрделі функция үшін, . Бұл ережені бірінші дифференциал формасының инварианттығы деп атайды. Дифференциалды жуықтап есептеуге қолдануға болады. Айталық, функциясы дифференциалданатын болсын, онда оның өсімшесі:

, осыдан .

Егер нүктесінде функцияның мәні берілсе, онда: .

мысал. -ты жуықтап есепте.

.

12. Лопиталь ережесі арқылы анықталмағандықты ашу.Теорема (Лопиталь ережесі). f(x) және g(x) функциялары ( ) жағдайда нолге немесе шексіздікке ұмтылсын. Егер олардың туындыларының қатынасының шегі (ақырлы не ақырсыз) бар болса, функциялар қатынасының да шегі бар болады және мына қатынас орындалады: . Лопиталь ережесін қолданып ектерді есмептейік.

1. .

2.

3. .

Үшінші мысалда Лопиталь ережесін бірден қолдануға келмейді. Сондықтан, алгебралық түрлендіру көмегімен түріндегі анықталмағандықты немесе түріндегі анықталмағандықтарға келтіреміз. Осы мақсатпен х² бөлімнің бөліміне түсірілді.

4. . Айталық деп белгілеп, теңдеудің екі жағын логарифмдейік. Теңдеудіңоңжағынесептейік: