5. Аналитикалық геометрияның қарапайым есептері (екі нүктенің арақашықтығы; берілген кесіндіні белгілі қатынаста бөлу). Екі нуктенін ара қашықтығы

Жазықтықта және екі нүкте берілсін. Осы екі нүкте арақашықтығын, немесе АВ кесіндісінің ұзындығын, мына формуламен есептейді:

.

Кесіндіні берілген қатынаста бөлу

Жазықтықта және екі нүкте берілсін. АВ кесіндісін АМ:МВ= болатындай қатынаспен бөлетін М(х,у) нүктесінің координаталары мынадай формуламен есептелінеді:

, . Дербес жағдайда, АВ кесіндісін тең екіге бөлу керек болса, яғни =1:1=1, формула былай түрленеді: , .

6. Векторлар және оларға қолданылатын сызықтық амалдар. Екі вектордың скалярлық көбейтіндісі. Вектор және оған амалдар қолдану

Негізгі ұғымдар. Мектеп курсынан белгілі векторлар жөніндегі білімімізді жалпылайық.

Басы А, соңы В нүктесі болатын бағытталған кесінді вектор деп аталады. Оқулықтарда векторларды немесе , кейде тек қалың әріптермен АВ белгілеу түрлері кездеседі. Сол сияқты векторларды бір әріппен де белгілей береді ( = , , а). векторының ұзындығы деп АВ кесіндісінің ұзындығын айтады және деп белгілейді. Басы мен соңы беттесетін вектор нолдік вектор деп аталады, = және ұзындығы нолге тең.Бір түзудің не өзара параллель түзулер бойында орналасқан векторлар коллениар векторлар деп аталады. және векторларының қосындысы «үшбұрыш» не «параллелограмм» ережесімен анықталады:

және векторларының - айырымы деп -ға қосқанда

векторы алынатын = - векторын айтады.

векторының санға көбейтіндісі деп ұзындығы болатын, бағыты >0 болғанда векторымен бағыттас, <0 болғанда векторымен қарама-қарсы бағытта болатын векторын айтады. Суретте, = 2, =2 ; = -1, =- .

2Вектордың скаляр көбейтіндісі

Екі вектордың скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейтіндісіне тең шаманы айтады: .

Тік бұрышты декарт координаталар жүйесінде векторының басы мен соңының координаталары белгілі болсын және . Сонда векторын координаталары арқылы былай жазуға болады: = векторының басы координаталар басымен беттесетіндей етіп өз-өзіне параллель көшірсек, онда векторының координатасы вектордың соңының координаталарымен бірдей болатынын аңғару қиын емес. Жазықтықта вектордың координатасын екі сан анықтаса, айталық , кеңістікте үш сан анытайды, .

Вектордың ұзындығы оның координаталарының квадраттарының қосындысынан алынған квадрат түбірге тең: . және векторлары координаталарымен берілген болса олардың қосындысы мынадай түрде анықталады: .Ал векторын санға көбейту мынадай түрде анықталады: . және векторларының скаляр көбейтіндісі мынадай:

7. Жазықтықтағы түзудің теңдеулері. Жазықтықтағы түзу (1-сурет) Оу осін В(0;b) нүктесінде қиып, Ох осімен (0< < ) бұрыш жасасын. Түзу бойынан қандай да бір М(х,у) нүкте алайық. Түзудің Ох осімен жасаған бұрышының тангенсін ВМК үшбұрышынан табамыз:

; деп белгілеп, түзудің бұрыштық коэффициенті деп атау қабылданған. Сонымен: .

Осы қатынастан у-ті тапсақ: y=kx+b (2)

Түзу бойында жатқан кез келген нүктенің координатасы (2) теңдеуді қанағаттандырады да түзуден тыс жатқан нүктелер бұл теңдеуді қанағаттандырмайды. (2) теңдеу түзудің бұрыштық коэффициентімен берілген теңдеуі деп аталады. Дербес жағдайларын қарастырайық.

1. Түзудің бұрыштық коэффициентімен берілген теңдеуіндегі b=0 болсын. Онда түзу теңдеуі y=kx түрге келеді де, түзу координат басынан өтеді (2-сурет)

2. Егер болса, онда болады да, түзу теңдеуі y=b түрге келеді де, түзу Ох осіне параллель болады (3-сурет). Ал Ох осінің теңдеуі y=0 болады.

3. Егер болса, онда мәні болмайды, түзу Ох осіне перпендикуляр болады. Айталық түзу Ох осінен а тең кесінді қиып өтеді, сонда түзу теңдеуі х=а түрде болады (4-сурет). Ал Оу осінің теңдеуі х=0 болады.

Теорема. Тік бұрышты координаталар жүйесінде кез келген түзу бірінші ретті теңдеумен беріледі Ах+Ву+С=0 (3)

Және керісінше, (3) теңдеу (А, В, С коэффициенттердің бәрі бір мезгілде нолге тең болмаған кезде) тік бұрышты координаталар жүйесінде қандай да бір түзуді анықтайды.

(3) теңдеуді әдетте түзудің жалпы теңдеуі деп атайды

8. Функцияның нүктедегі шегі. Тамаша шектер Анықтама. Егер алдын ала берілген, мейілінше аз санына саны табылып, шартын қанағаттандыратын барлық х үшін теңсіздігі орындалса, онда А саны f(x) функциясының х аргумент х₀-ге ұмтылғандағы шегі деп аталады да, былай жазылады: .Анықтамадағы теңсіздікті ашсақ, мынадай қос теңсіздік аламыз: . интервалды нүктесінің -маңайы дейді. Сол сияқты теңсіздікті ашсақ: . интервалды А нүктесінің -маңайы дейді.

1-ші тамаша шек

Теорема. функциясы x=0 нүктеде анықталмаған, бірақ жағдайда шегі бар және Осы шекті бірінші тамаша шек деп атайды.

Бірінші тамаша шек салдары:

1) , 2) , 3) .

Мысал. а) .

б) .

Екінші тамаша шек

Теорема. функциясының жағдайда шегі бар және

Осы шекті екінші тамаша шек деп атайды. Мұндағы иррационал саны Эйлер саны екені белгілі.

Екінші тамаша шек салдары:

1) , a=e болғанда ;

2) , a=e болғанда ;

3) Мысал. а) екенін көрсет.

Шешуі. деген білгілеу енгізейік. Осыдан . Және де кезде . Енді шек есептесек .

б)