1.Екінші ретті анықтауыштар және олардың қасиеттері. Екінші ретті квадрат А матрицасына сәйкесті екінші ретті анықтауыш деп,матрицаның бас диоганалында орналасқан а және а екі элементтің көбейтіндісі мен жанама диоганалінде орналасқан а және а екі элементтерінің көбейтіндісінің айырымына тең санды атайды және былай белгілейді:

Сонымен анықтама бойынша:

Анықттауыштардың қасиеттері.

1. Анықтауыштың жолдары мен сәйкес бағандарының орнын алмастырсақ онда оның мәні өзгермейді.

2. Анықтауыштың кез келген екі жолыныңсәйкес элементтерінің орнын алмастырсақ,онда оның таңбасы қарама қарсы таңбаға өзгереді.

3. Анықтауыштың екі жолының сәйкес элементтері өзара тең болса,онда оның мәні нольге тең.

4. Анықтауыштың кез келген жолыныңбарлық элементтерін а санына көбейтсек,онда оның мәні осы санға көбейтіледі.

5. Анықтауыштың кейбір жолының барлық элементері нөлге тең болса,онда оның мәні де нөлге тең.

6. Анықтауыштың екі жолының сәйкес элементтері пропорционал болса,онда оның мәні нөлге тең.

7. Анықтауыштың к-бағанының элементтері қосындылары болса,онда бұл анықтауыш екі анықтауыштың қосындысы болады.

8. Анықтауыш кез келген жолының барлық элементтерін санына көбейтіп ,оны басқа бір жолдың сәйкес элементтеріне қоссақ онда оның мәні өзгермейді.

Екі белгісізді сызықтық теңдеулер жүйесі.х және х екі белгісізді сызықтық екі теңдеулер жүйесі

берілсін дейік.Теңдеулер жүйесінің ,I,j=1,2 коэффициенттері және бос мүшелері нақты сандар болсын.

пар сандары теңдеулер жүйесіндегі және -нің орнына қойғанда оның әр теңдеуән теңбе теңдікке айналдыратын болса,онда бұл сандар теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады.

Егер теңдеулер жүйесінің бірінші теңдеуін -ге ал екіншісін -ге көбейтіп қоссақ,содан кейін бірінші теңдеуін -ге,екіншісін -ге көбейтіп қоссақ,онда жүйеге мәндес.

Теңдеулер жүйесін аламыз.

Бұл әдіс жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең болғанда, яғни m=n, қолдануға болады. Демек, жүйе түрі мынадай болады:

(4)

Жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең, онда жүйе матрицасы квадрат матрица болады. Сол квадрат матрицаның анықтауышын деп белгілейік:

2. Екі және үш белгісізді сызықтық теңдеулер жүйесі. Крамер ережесі. Мысал.Екі белгісізді сызықтық теңдеулер жүйесі.х және х екі белгісізді сызықтық екі теңдеулер жүйесі

берілсін дейік.Теңдеулер жүйесінің ,I,j=1,2 коэффициенттері және бос мүшелері нақты сандар болсын.

пар сандары теңдеулер жүйесіндегі және -нің орнына қойғанда оның әр теңдеуән теңбе теңдікке айналдыратын болса,онда бұл сандар теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады.

Егер теңдеулер жүйесінің бірінші теңдеуін -ге ал екіншісін -ге көбейтіп қоссақ,содан кейін бірінші теңдеуін -ге,екіншісін -ге көбейтіп қоссақ,онда жүйеге мәндес.

Теңдеулер жүйесін аламыз.

Үш белгісізді сызықты үш теңдеулер жүйесі.Бізге белгісізді сызықтық үш теңдеулер

жүйесі берілсін дейік.Жүйенің коэффициенттері мен босмүшелері нақты сандар болсын.Егер сандар үштігін теңдеулер жүйесіндегі белгісіздерінің орнына қойғанда,ол жүйенің әр теңдеуін теңбе теңдікке айналдыратын болса,онда үштігі жүйенің шешәмә деп аталады.Мына белгілеулер

Крамер ережесі. -жүйе анықтауышы, ал - анықтауыштың j-тік жолын бос мүшелермен алмастырғаннан пайда болған анықтауыш болсын. Сонда, егер болса жүйенің жалғыз шешімі бар болады және мынадай формуламен табылады:

(i=1,2,…,n) формуланы Крамер формуласы деп атайды.

Осы ережені қолданып мынадай жүйені шешейік

Шешуі. Алдымен анықтауышты есептейміз,

.т (j=1,2,3) анықтауыштарды есептейік

, ,

Енді Крамер формуласын қолданып белгісіздерді табамыз:

, , .

Сонымен, берілген жүйенің жалғыз (-1; 2; 3) шешімі табылды, жүйе анықталған екен.

3. Матрицалар және оларға амалдар қолдану. Мысал.Матрица және олардың түрлері

Анықтама. m жатық n тік жолдан құрылған кестені mxn өлшемді матрица деп атайды.

Матрицаны құрайтын сандар матрица элементтері деп аталады. Әдетте матрица латын алфавитінің бас әріптерімен, ал элементтері сәйкес кіші әріптермен белгіленеді:

Қысқаша жазылуы:

Матрица элементінің бірінші индексі жатық жол нөмірі, ал екінші индексі тік жол (бағана) нөмірін көрсетеді. Мысалы, элементі екінші жатық жол мен үшінші тік жол қиылысында орналасқан.

Бір ғана жатық жолдан құралған матрицаны жол-матрица, ал бір ғана тік жолдан құралған матрицаны бағана-матрица депатайды: - жол-матрица;

- бағана матрица.

Жол матрица мен бағана матрицаны кейде вектор деп те айтады.. Жатық жолдар саны мен тік жолдар саны тең болатын матрица квадрат матрица деп аталады,

.

Квадрат матрицаның элементтері диагоналдық элементтер деп аталады да, матрицаның негізгі диагоналін құрайды. Ал элементтері қосымша диагоналдық элементтер деп аталады да, матрицаның қосымша диагоналін құрайды. Квадрат матрицаның негізгі диагоналінің астындағы немесе үстіндегі элементтері нолге тең болса, матрица үшбұрышты матрица деп аталады,

,

Диагоналды емес элементтерінің бәрі нолге тең болатын квадрат матрица диагоналды матрица деп аталады,

.

Барлық диагоналды элементтері бірге тең болатын диагоналды матрица бірлік матрица деп аталады және оны Е әрпімен белгілейді,

. Барлық элементтері нолге тең матрица нолдік матрицадеп аталады.

Матрица және оларға амалдар қолдану

1. Матрицаны санға көбейту. Матрицаны санға көбейту үшін оның барлық элементтерін сол санға көбейту керек:

Мысалы, матрицасын санына көбейтейік: .

Осыдан матрицаның барлық элементтерінің ортақ көбейткішін матрица алдына шығаруға болатынын аңғару қиын емес.

2. Матрицаларды қосу және алу. Өлшемдері бірдей матрицаларды ғана қосуға болады. А және В матрицаларының қосындысы деп элементтері осы матрицалардың сәйкес элементтерінің қосындысы болатын, А + В матрицаны айтамыз:

.

А матрицасынан В матрицасын алу үшін А матрицасына В матрицасын -1-ге көбейтіп қосу жеткілікті:A – B = A+(-1)B немесе А матрицасының әр элементінен В матрицасының сәйкес элементтері алынады. Мысалы А матрицасынан В матрицасын алайық:

3. Матрицаларды көбейту. Бірінші матрицаның тік жолдар саны мен екінші матрицаның жатық жолдар саны тең болған жағдайда ғана екі матрицаны көбейтуге болады. Өлшемі mxk болатын А матрицасы мен өлшемі kxn болатын В матриасы берілсін:

Осы екі матрицаны көбейткенде өлшемі mxn болатын көбейтінді С матрица аламыз:

С матрицасының элементі А матрицаның –жатық жол элементтерін В матрицаның –тік жолының сәйкес элементтеріне көбейтіп қосқанға тең болады: , . (1) Мысалы, матрицасы мен матрицасын көбейтейік. Бірінші матрица үш тік жолдан, ал екінші матрица үш жатық жолдан тұрғандықтан бұл матрицаларды көбейтуге болады. Көбейтінді матрицаның өлшемін анықтайық:

, яғни, . k=3 болғандықтан (1) формуланы қолданғанда үш қосылғыш болады: , . элементін табу үшін формуладағы i=1, j=1 деп аламыз, сонда ,яғни А матрицаның 1-жатық жол элементтерін В матрицаның 1-тік жолының сәйкес элементтеріне көбейтіп қостық. Осылай С матрицаның барлық элементтері табылады:

C= = = = .

Қосу және көбейту амалдарының мынадай қасиеттері бар:

1) A+B=B+A	5) (A+B)C=AC+BC
2) (A+B)+C=A+(B+C)	6) (AB)=( A)B=A( B)
3) (A+B)= A+ B	7) A(BC)=(AB)C
4) A(B+C)=AB+AC

Бұл қасиеттер сандарға жасалатын амалдар қасиеттеріне ұқсас. Енді матрицаның өзіндік ерекшелігіне байланысты қасиеттерін қарастырайық.

8) Біріншіден, екі матрицаның АВ көбейтіндісі болғанмен ВА көбейтіндісі болмауы мүмкін. Мысалы, көбейтіндісі бар, бірақ көбейтіндісі жоқ, себебі бірінші матрицаның тік жолдар саны екінші матрицаның жатық жолдар санына тең емес;

екіншіден, АВ және ВА көбейтінділері бар болғанмен, олардың өлшемдері әртүрлі болуы мүмкін. Мысалы, және көбейтінділер бар, бірақ өлшемдері әртүрлі: , ; үшіншіден, АВ және ВА көбетінділер бар және олардың өлшемдері бірдей болғанмен, жалпы жағыдайда, көбейтудің коммутативті заңы орындалмайды, яғни АВ BA.

Мысал. мен матрицалары берілген. АВ және ВА көбейтінділерін табау керек. Шешуі. Берілген матрицалар өлшемдері 2х2 квадрат матрицалар, оларды көбейтуге болады:

.

.

Көріп отырғанымыздай АВ BA.

9) А-квадрат матрица болса, онда мына теңдік орындалады: АЕ = ЕА = А.

4. Матрицаны транспонерлеу. Қандай да бір А матрицасының жатық жолын сәйкес тік жол етіп жазғаннан пайда болған матрицаны берілген матрицаның транспонерленген матрицасы деп атайды да, деп белгілейді. Берілген матрицаның өлшемі mxn болса, оның транспонерленген матрицасының өлшемі nxm болады. Мысалы, матрицасының бірінші жатық жолын бірінші тік жол етіп, ал екінші жатық жолын екінші тік жол етіп жазып оның транспонерленген матрицасын аламыз.

4. Кері матрицаны есептеу. Мысал.Кез келген сан үшін мына теңдігін қанағаттандыратындай кері сан табылады. Квадрат матрица үшін де осындай ұғым енгіземіз. Анықтама.А квадрат матрица үшін мына теңдікті қанағаттандыратын матрица А матрицаның кері матрицасы деп аталады. Кері матрицаны мына формуламен табады:

, мұндағы -матрица анықтауышы, ал -берілген матрицаның элементтерінің алгебралық толықтауыштары, i=1,2,…,n; j=1,2,…,n.

Кез келген квадрат матрицаның кері матрицасы бола бермейді. Теорема(кері матрица болуының қажетті және жеткілікті шарты). Матрицаның кері матрицасы болуы үшін ол ерекше емес ( ) матрица болуы қажетті және жеткілікті.

Мысал. матрицасының кері матрицасын табу керек. Шешуі. Алдымен анықтауышын есептейік.

= = .

, яғни кері матрица бар. Енді элементтердің алгебралық толықтауыштарын есептейік.

, ,

, ,

, ,

, ,

.

Табылған мәндерді формулаға қойып кері матрицаны табамыз.

. Кері матрицаның дұрыс табылғандығын теңдігін тексеру арқылы көз жеткізуге болады:

.