4) Математический анализ 13--18
4.1 Предел отношения 2-х многочленов
(возможно с дробными степенями). Если
предел ищется на бесконечности, то 1)
когда более старшая степень стоит в
числителе:
;
2) когда более старшая степень стоит в
знаменателе:
;
3) если оба многочлена одинаковых
степеней, то предел равен отношению
коэффициентов при старшей степени. Если
предел ищется в точке, то нужно подставить
ее значение. Если при этом возникает
неопределенность 0/0, то это указывает
на наличие в многочленах общего множителя,
который можно сократить,
либо можно применять правило Лопиталя.
4.2 Знак производной функции определяет области убывания и возрастания самой функции. Минус производной соответствует убыванию, плюс – возрастанию. Точка где убывание сменяется возрастанием является локальным минимумом, а где возрастание сменяется убыванием – локальным максимумом.
5) Векторный анализ 19--22
5.1 Вектора можно задавать как суперпозицию
базисных векторов:
,
или путем задания координат конца
вектора (считается, что начало совпадает
с началом координат):
.
При сложении 2-х векторов координаты
конца суммарного вектора равны суммам
соответствующих координат слагаемых
векторов. При умножении вектора на число
все его координаты умножаются на это
число. При скалярном перемножении 2-х
векторов (в ортонормированном базисе)
нужно покомпонентно перемножить
координаты этих 2-х векторов и результаты
сложить (получим число, т.е. скаляр).
5.2 Два вектора ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение =0. Два вектора колинеарны (параллельны), если отношения всех их координат одинаковы.
5.3 Радиус-вектор движущейся материальной
точки может быть задан координатами
его конца зависящими от времени:
.
Тогда вектор скорости описывается
первыми производными по времени, а
вектор ускорения – вторыми производными:
,
.
6) Ряды 23--26
6.1 Чтобы ряд мог сходиться, необходимо стремление к нулю его членов при стремлении их номера к бесконечности. Иначе о сходимости не может быть и речи.
6.2 Абсолютная сходимость – это сходимость ряда из модулей слагаемых. Простейшие тесты на абсолютную сходимость числовых рядов даются признаком Даламбера и признаком Коши.
Признак Даламбера: если для ряда
существует
,
то ряд сходится при
q<1 и расходится
при q>1. Признак
Коши устроен аналогично, но рассматривается
.
6.3 Условная сходимость подразумевает
сходимость данного ряда при отсутствии
сходимости ряда из его модулей. Например,
рассмотрим знакочередующийся ряд
(присутствует множитель
).
Для условной сходимости такого ряда,
согласно признаку Лейбница, достаточно
лишь чтобы
.
6.4 Гармонический ряд
расходится.
Если степень при n в
знаменателе >1, то ряд сходится, если
<1, то расходится (согласно интегральному
признаку).
6.5 Степенной ряд
имеет
центр сходимости в точке
.
Радиус сходимости описывается формулой:
.
Тогда область абсолютной сходимости
,
в точках
требуется
дополнительное исследование, а вне
этого интервала ряд расходится.
6.6 Разложения в степенной ряд Тейлора в нуле (ряд Маклорена) для некоторых функций:
