1.8.2. Локальная теорема Лапласа

Локальная теорема Лапласа определяет вероятность того, что в серии из n повторных независимых испытаниях событие А наступит точно k раз, при условии, что вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и равна р. Если число испытаний невелико n<10, то применяют формулу Бернулли. Если же n велико, то для удобства вычислений применяют локальную теорему Лапласа:

(1.22)

Значения функции Гаусса находятся из таблиц распределения (приложение 1) для каждого значения аргумента z, вычисляемого по формуле:

. (1.23)

Функция Гаусса четная, то есть φ(-z)=φ(z).

1.8.3. Интегральная теорема Лапласа

Интегральная теорема Лапласа дает возможность вычислить вероятность того, что событие А в n повторных независимых испытаниях наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, то есть:

, (1.24)

где - функция (интеграл) Лапласа. Ее значения даны в приложении 2. Функция Лапласа нечетная, то есть выполняется соотношение: Φ(-z) = - Φ(z).

Аргументы функции Лапласа находятся по формулам:

; . (1.25)

Пример 1.8. Предприятие выполняет в срок 70% заказов. Какова вероятность того, что из 200 заказов будут выполнены в срок:

а) ровно 140 заказов;

б) от 130 до 150 заказов.

Решение.

Будем считать, что вероятность выполнения одного заказа р=0,7 не зависит от наличия на предприятии других заказов. Тогда имеем серию n=200 повторных независимых испытаний с вероятностью выполнения одного заказа р=0,7 и невыполнения заказа q =1 – р = 0,3.

а) Так как число испытаний велико n=200, и в срок необходимо выполнить ровно k=140 заказов, то применяем локальную теорему Лапласа (1.22).

Находим z по формуле (1.23):

.

Из таблицы значений функции Гаусса (прил.1) находим φ(0)=0,3989.

По формуле (1.22) находим вероятность того, что из 200 заказов выполнят в срок ровно 140:

.

б) Для расчета вероятности того, что из 200 заказов будут выполнены в срок: от k₁=130 до k₂=150 заказов, применяем интегральную теорему Лапласа (1.24):

.

Рассчитаем значения z по формулам (1.25):

Используя приложение 2 и нечетность функции Лапласа, получим: Φ(1,54) = 0,8764; Φ(-1,54) = -0,8764.

Тогда вероятность того, что из 200 заказов будут выполнены в срок от 140 до 150 заказа:

Ответ: ;

1.9. Случайные величины

Действительная переменная, которая в зависимости от исхода случая принимает различные значения называется случайной величиной.

1.9.1. Дискретная случайная величина

Случайная величина называется дискретной, если она может принимать только отдельные изолированные значения.

Например, число стандартных изделий в партии, число детей, родившихся в определенном пункте и за определенное время и т.д.

Дискретная случайная величина считается заданной (определенной), если известны все ее возможные значения и вероятности, с которыми принимается каждое из этих значений. Обычно дискретная случайная величина задается в виде таблицы:

Х	х1	х2	…	хn
Р	р1	р2	…	рn

причем сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины, равна единице, то есть . Такая таблица называется законом распределения случайной величины.

Иногда закон распределения дискретной случайной величины задается формулой, с помощью которой для каждого значения случайной величины можно определить соответствующую ему вероятность. Например, если вероятность определяется по формуле Бернулли, то закон распределения называется биномиальным.

Определение. Математическим ожиданием М(Х) или средним значением дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности.

(1.26)

Определение. Дисперсией D(Х) или рассеиванием дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

. (1.27)

Дисперсию можно также находить по формуле:

, (1.28)

дисперсия случайной величины Х равна математическому ожиданию квадрата случайной величины без квадрата ее математического ожидания.

Определение. Средним квадратическим отклонением σ ρлучайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из дисперсии

. (1.29)

Пример 1.9. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, если распределение задано таблицей.

хi	0	1	2	3	4	5	6
p(хi)	0,2	0,25	0,3	0,15	0,06	0,03	0,01

Решение.

Так как , то имеем закон распределения дискретной случайной величины.

Найдем математическое ожидание М(Х) по формуле (1.26):

.

Найдем дисперсию D(X) по формуле (1.28):

;

.

Среднее квадратическое отклонение: