1.4. Понятия суммы и произведения событий

Определение. Суммой двух событий А и В называют событие С, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Иначе, событие С состоит в появлении хотя бы одного из событий А и В.

Сумма двух событий обозначается А+В или А₁ А₂ и читается А или В.

Например, если стрелок производит два выстрела из винтовки по цели и событие А – попадание при первом выстреле, событие В – попадание при втором выстреле, то сумма этих событий А+В означает попадание или при первом выстреле, или при втором, или при обоих выстрелах.

Определение. Произведением двух событий А и В называют событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Произведение двух событий обозначается АВ или и читается А и В.

В предыдущем примере произведение событий АВ означает попадание при обоих выстрелах.

Дадим геометрическую интерпретацию понятий суммы и произведения событий. Если обозначить через А попадание точки в область А, через В — попадание точки в область В, то А+В—попадание в область, заштрихованную на рис.1.а); АВ—попадание в область, заштрихованную на рис. 1.б).

а) б)

Рис. 1.Сумма (а) и произведение (б)

двух совместных событий

Определение. Суммой нескольких событий называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Например, если событие А состоит в том, что студент сдаст экзамены на отлично, В – на хорошо, С – на удовлетворительно. Событие А+В+С (студент сдаст экзамен) состоит в осуществлении хотя бы одного из трех событий (или А, или В, или С).

Определение. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

На рис.2, а), б) дана геометрическая интерпретация суммы и произведения трех событий.

Рис.2. Сумма (а) и произведение (б)

трех совместных событий

1.5.Теорема сложения вероятностей

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (1.3)

Пример 1.2. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов разыгрывается 100 вещевых и 10 денежных выигрышей. Определить вероятность денежного или вещевого выигрыша на один лотерейный билет.

Решение.

Обозначим: А - событие, состоящее в том, что выиграна вещь, вероятность этого события: .

Событие В - выиграны деньги. Вероятность события В: .

События А и В несовместные, так как один билет может выиграть либо вещь, либо деньги. Событие А+В состоит в выигрыше или вещи, или денег.

Согласно теореме сложения вероятностей для несовместных событий (1.3) находим: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,1+0,01=0,11.

Следствие 1. Если несовместные события А₁, А₂,…, А_n образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна единице, т. е.

P(А₁ + А₂ +…+ А_n) = P(А₁) + P(А₂) + …+ P(А_n)=1.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: .

Например, вероятность появления "герба" при одном подбрасывании монеты равна ½, вероятность противоположного события – выпадения "решки": 1- ½ = ½.

Если события совместны, то при сложении вероятностей этих событий следует учитывать вероятность их совместного появления.

Теорема. Сложение вероятностей двух совместных событий. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). (1.4)