2.4.4. Метод потенциалов

Метод потенциалов является одним из наиболее часто используемых методов уточнения плана перевозок.

Каждой строке с номером i в матрице перевозок приписывается числовое значение _i , а каждому столбцу с номером j значение _j .

, называются потенциалами, если для каждой заполненной клетки ( i; j ) выполняется условие:

, (2.16)

где c_ij - тариф перевозки.

Определение. Сумма потенциалов для свободных клеток называется косвенными тарифами .

. (2.17)

Соотношение между косвенными тарифами свободных клеток базисного решения и их истинными (заданными тарифами) служат критериями оптимальности решения.

Теорема. Достаточное условие оптимальности. Если для всех свободных клеток таблицы перевозок , то этот план будет оптимальным, причем если , для всех свободных клеток, оптимальный план единственный. Если для некоторых пустых клеток , то оптимальный план не единственный.

Если есть свободные клетки, для которых , то рассматриваемый план перевозок не является оптимальным и может быть улучшен пересчетом по циклу, соответствующему одной из клеток, в которых (лучше, если разность будет максимальной).

Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов

Пусть имеется исходное базисное решение.

1. Для каждой строки и столбца матрицы перевозок необходимо задать потенциалы и для каждой базисной (заполненной) клетки записать уравнение вида (2.16). Получим систему уравнений для потенциалов.

2. Так как заполненных клеток , то соотношение (2.16) задают систему простейших уравнений с неизвестными. Дополняя ее условием: , получают единственное решение системы потенциалов. Числа удобно записать в дополнительном столбце справа от матрицы перевозок, а числа в дополнительной строке внизу таблицы.

3. Для каждой свободной строки находят косвенный тариф .

4. Если косвенный тариф больше истинного, то переходят к пункту 5. Если косвенный тариф меньше или равен истинному тарифу, то данное базисное решение является оптимальным.

5. Среди разностей между косвенным и истинным тарифами, найденных в пункте 3, выбирают наибольшую. Находят соответствующую ей свободную клетку.

6. Для свободной клетки строят цикл перечета. По нему производят сдвиг, преобразовав свободную клетку в базисную. Получают новое базисное решение.

7. Возвращаются к пункту 1 алгоритма.

Решение транспортной задачи методом потенциалов

Решим транспортную задачу методом потенциалов. За исходное решение примем базисное решение, полученное методом наименьшей стоимости.

Таблица 2.13

Базы	В1	B2	B3	B4	B5	Запасы
A1	20	22	9	16	13
		40	10			50
A2	5	13	7	4	10
	20		20	50		90
A3	30	18 20	15	12	8 40	60
Пот-ребн.	20	60	30	50	40	200

Составим систему потенциалов для заполненных клеток табл.2.13.

Имеем:

Получим:

Потенциалы _i для строк записываем в дополнительном столбце справа, а потенциал столбцов _j в нижней дополнительной строке (табл. 2.14).

Таблица 2.14

Базы	Потребители					Запасы		ai
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	20	22	9	6	13		50		0
		40 -	+ 10
A2	5	13	7	4	10		90		-2
	20	+	- 20	50
A3	30	18	15	12	8		60		-4
		20			40
Пот-ребн.	20	60	30	50	40		200
bj	7	22	9	6	12

Подсчитаем косвенный тариф для пустых клеток.

Достаточное условие оптимальности не выполнено для клетки A₂B₂.

Составим для нее цикл пересчета. В таблице 2.14 он отмечен штриховыми линиями.

Находим минимальное число для клеток, которым присвоен знак минус.

D = min (40,20) =20 - величина сдвига по циклу.

После пересчета по циклу получим:

Получаем новый план перевозок (табл.2.15).

Таблица 2.15

Базы	Потребители					Запасы		ai
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	20	22	9	6	13		50	0
		20	30
A2	5	13	7	4	10		90	-9
	20	20		50
A3	30	18	15	12	8		60	-4
		20			40
Потребности	20	60	30	50	40		200
bj	14	22	9	13	12

Стоимость перевозок составляет:

руб.

Составим систему потенциалов для заполненных клеток табл.2.15.

Имеем:

Полагая ₁= 0, находим потенциалы.

Получим:

Подсчитаем косвенный тариф для пустых клеток.

Для всех свободных клеток таблицы 2.15 истинные тарифы меньше их косвенных тарифов: . Полученный план перевозок оптимальный.

Наименьшая стоимость перевозок составила 1950 руб.

Таким образом, оптимизация позволила получить экономию

Z₁ - Z_min =2090 - 1950 = 140 рублей.