11.3. Застосування апарату теорії ігор для

аналізу проблем мікроекономіки.

Введені поняття математичної теорії ігор мають пряме доповнення для аналізу проблем мікроекономіки, разом з тим для аналізу ринкової рівноваги як кооперативної гри багатьох осіб.

Уявимо собі економічну ситуацію, в якій є два суб'єкти (Гравець 1 і Гравець 2). Гравець 1 і Гравець 2, і два товари (блага): х₁ і х₂. Звичайно, кількість гравців і товарів може бути більшою, але у випадку 2x2 всі введені поняття мають наочну інтерпретацію.

Кожен із гравців має свою функцію корисності, надану на наборі товарів: h₁(X₁,X₂), h₂(x₁,x₂); передбачається, що ці функції безперервні і монотонні за кожною із змінних і випуклі. На початку гри в економіці є загальна кількість X₁ першого товару і Х₂ — другого товару. Припустимо, що ця початкова кількість благ якось розподілена між гравцями: 1-й Гравець володіє кількістю Х¹₁, першого товару і Х¹₂, — другого, другий Гравець —кількістю Х²₁ і Х²₂, 1 -го і 2-го товарів відповідно, так що Х¹₁ + Х²₁=X₁ і Х¹₂ + Х²₂ = X₂

Постають запитання: чи можуть гравці шляхом обміну наявними у них товарами покращити своє становище, тобто збільшити значення функцій корисності h₁ і h₂ порівнянні з початковими рівнями h₁(X¹₁,X¹₂), h₂(X²₁,X²₂); які властивості такого рішення?

Для наочного уявлення економічного завдання з двома гравцями і двома товарами використовується так званий ящик Еджворта (рис. 11.3).

Рис. 11.3. Ящик Еджворта (суцільними лініями позначені криві байдужості 1-го Гравця, пунктирними — криві байдужості 2-го Гравця)

В ящику Еджворта довжина горизонтальної осі, що відповідає першому товару, дорівнює загальній кількості цього товару X₁, довжина вертикальної осі — загальній кількості товару Х₂. Виділений простір є великою кількістю всіх можливих розподілів наявних товарів між двома гравцями. Нижній лівий кут вважається початком координат для 1-го Гравця, верхній правий кут — початком координат для 2-го Гравця.

На виділеному просторі подані також дві множини кривих байдужості (ліній рівня функцій виграшу), що належать кожному з гравців. При цьому точка початкового розподілу товарів має координати (X¹₁, X¹₂) в системі відліку 1-го Гравця і, відповідно (Х²₁, X²₂) в системі відліку 2-го Гравця.

Розглянемо для початку проблему ефективного розподілу товарів між гравцями. Єдиною вимогою до розподілу, яку ми можемо поставити на початковому етапі аналізу, буде вимога Парето-оптимальності. Нагадаємо, що розподіл називається Парето-оптимальним, якщо не можна покращити становище ні одного з гравців, не погіршивши при цьому становище його партнера.

Багатство Парето-оптимальних розподілів може бути наочно подано з допомогою ящика Еджворта. У випадку 2-ох гравців Парето-оптимальне рішення може бути знайдене з допомогою фіксації рівня корисності одного з гравців (скажемо, Гравця 2) і пошуку максимуму функції корисності другого гравця.

В термінах ящика Еджворта це означає, що необхідно знайти таку точку на фіксованій кривій байдужості Гравця 2, в якій Гравець 1 одержує максимум своєї функції корисності.

Очевидно, що такою точкою є точка, де криві байдужості стосуються один одного, так як в протилежному випадку Гравець 1 може, рухаючись вздовж фіксованої лінії рівня Гравця 2 всередину, збільшити значення своєї функції корисності (рис. 11.4). Цю властивість можна довести і математично: максимум функції корисності Гравця 1 при фіксованому рівні корисності Гравця 2 досягається в точці, в якій диференціали цих функцій рівні, тобто в точці, де криві байдужості мають спільну дотикову.

Рис. 11.4 Парето-оптимальний розподіл в ящику Еджворта

Спираючись на цей факт, можна показати, що численність Парето-оптимальних розподілів в ящику Еджворта буде численністю всіх точок, в яких криві байдужості Гравця 1 і Гравця 2 стосуються один одного (рис. 11.5). Численність Парето-оптимальних розподілів в обширі товарів називається контрактною численністю, поскільки гравцям в усякому разі має сенс домовитися між собою саме на цьому наборі ефективних розподілів.

Рис. 11.5. Численність Парето-оптимальних розподілів (контракт на численність) для ящика Еджворта

Розглянемо тепер ситуацію, коли кожен гравець володіє деякою початковою кількістю кожного з товарів. Постає питання: чи може цей початковий розподіл бути покращений шляхом обміну товарами між гравцями? Дослідимо цю проблему з допомогою ящика Еджворта. Нехай (Х¹₁, Х¹₂) — точка початкового розподілу товарів; проведемо через цю точку криві байдужості для Гравця 1 і Гравця 2 (рис. 11.6).

Рис. 11.6. Лінії погроз, переговорна численність і рішення Неша для ящика Еджворта

Якщо ці дві криві не торкаються одна одної (тобто якщо початковий розподіл не Парето-оптимальний), то в своєму перетині вони утворюють ділянку, рухаючись всередину якої кожен з гравців може збільшувати значення обох функцій корисності. При цьому, як легко показати, частина контрактної численності виявляється всередині ділянки, утвореної проведеними кривими байдужості.

Як ми вже переконалися, гравцям бажано вести переговори відносно розподілів, що знаходяться на контрактній численності, з врахуванням початкового розподілу — відносно ділянки контрактної численності, укладеної між двома кривими байдужості. Ці криві, фіксуючи початкові рівні корисності для кожного з гравців, аналогічні точці погрози в теорії кооперативних ігор (тому назвемо їх лініями погрози), а виділена ними ділянка на контрактній численності — переговорній численності (в мікроекономіці воно також називається переговорною численністю). Для того, щоб переміститися на переговорну численність, у випадку рис. 11.6, Гравець 1 повинен передати (продати) деяку кількість наявного у нього товару 1 Гравцю 2 в обмін на певну кількість товару 2, наявного в Гравця 2.

Лінії загрози в даному випадку означають, що за їх межами (тобто нижче і лівіше вихідної кривої байдужості для Грвця 1 і вище і правіше кривої байдужості для Грвця 2) якому-небудь з гравців стає непотрібним вести переговори — йому краще (чи, в крайньому разі, не гірше) залишатися в ситуації початкового розподілу. Точка Неша, що відповідає максимуму вироблення нарощувань корисностей гравців в порівнянні з початковою ситуацією, буде знаходитися всередині переговорної численності.

В результаті проведеного аналізу можна зробити висновок, що гравці можуть покращити своє початкове становище, обмінюючись товарами, і Гравцю 1 вигідно поступитися Гравцю 2 деякою кількістю товару 1 в обмін на товар 2.

Розглянемо в кінці розв'язання завдання про дуополію. В цьому завданні дві фірми зіткнулися з проблемою задоволення попиту на деякий товар. Об'єм попиту залежить від рівня призначених цін і описується функцією d(p) (їй відповідає спадна лінія на рис. 11.7). Об'єм пропозиції товару кожної з фірм також залежить від рівня цін і в мікроекономіці описується функціями пропозиції s₁(p), s₂(p) - ці функції визначаються рівнем граничних витрат кожної з фірм. Припустимо для спрощення, що Фірма 1 і Фірма 2 мають однакові функції пропозиції s₁(p)=s₂(p) (рис 11.7).

Рис. 11.7. Розв 'язання завдання про дуополію

Пошук розв'язку в завданні про дуополію (тобто визначення рівня цін і об'ємів пропозиції кожної з фірм) базується на принципах, спільних для розв'язання завдань теорії ігор. Кожна із сторін володіє інформацією про себе і свого партнера (в даному випадку — про функції пропозиції кожної з фірм), про умови гри (в даному випадку — про функції попиту) і діє, виходячи з пропозиції, що її партнер володіє такою ж інформацією, і діє раціонально (тобто прагне максимізувати свій дохід).

Якщо Фірма 1 призначить ціну на запропонований нею товар р₁, а Фірма 2 прийме цю ціну, то Фірма 1 зможе продати об'єм товару, рівний .

Функція r₁(р) називається кінцевою функцією попиту, з якою зіткнулася Фірма 1 (див. рис. 10.7). Поскільки величина r₁, описує об'єм попиту, що стосується тільки продукції Фірми 1, то вона одержить максимум доходу, повністю задовольнивши цей попит, тобто при умові, що .

В результаті Фірма 1, спираючись на наявну в неї інформацію, розв'язує завдання пошуку рівноваги рівня цін р, при яких .

Аналогічне завдання пошуку рівноваги цін розв'язує Фірма 2:

Враховуючи, s₁(p)=s₂(p), ми одержимо, що в ситуації рівноваги

а дохід кожної з фірм буде рівний

Таким чином, в завданні про дуополію фірми повинні знайти такий рівень цін р', при якому вони зможуть повністю задовольнити попит на продукцію d(р'), розподіливши між собою виробництво цієї продукції порівну і одержавши при цьому однаковий дохід. Рівень рівноваги цін і об'єм пропозиції кожної з фірм визначають в даному завданні ситуацію рівноваги за Нешом (див. рис. 11.7).

В результаті, як ми бачимо, проблеми ринкової взаємодії близькі до проблем теорії ігор і можуть бути ефективно описані і досліджені в її термінах.