8. Сведение задач теории игр к задачам линейного программирования.

Чтобы найти решение данной игры, определяемой матрицей А, нужно составить следующую пару двойственных задач и найти их решение [6].

Прямая задача: найти максимальное значение функции при условиях , , .

Двойственная задача: найти минимальное значение функции при условиях , , ,. .

Используя решение пары двойственных задач, получаем формулы для определения оптимальных стратегий и цены игры:

, ,

, , .

Итак, процесс нахождения решения игры с использованием методов линейного программирования включает в себя следующие этапы:

1. Составляют пару двойственных задач линейного программирования, эквивалентных данной матричной игре.

2. Определяют оптимальные планы пары двойственных задач.

3. используя соотношения между планами пары двойственных задач и оптимальными стратегиями и ценой игры, находят решение игры.

Пример 7. Найти решение игры, заданной матрицей:

.

Решение. Составим двойственную пару задач линейного программирования. Прямая задача: найти максимум функции при ограничениях

.

Двойственная задача: найти минимум функции при ограничениях

.

Находим оптимальные планы прямой и двойственной задач:

	базис	Сб	Р0	1	1	1	0	0	0
				Р1	Р2	Р3	Р4	Р5	Р6
1	Р4	0	1	1	2	0	1	0	0
2	Р5	0	1	1	0	1	0	1	0
3	Р6	0	1	2	1	0	0	0	1
			0	-1	-1	-1	0	0	0
1	Р4	0	1	1	2	0	1	0	0
2	Р3	1	1	1	0	1	0	1	0
3	Р6	0	1	2	1	0	0	0	1
			1	0	-1	0	0	1	0
1	Р2	1			1	0		0	0
2	Р3	1	1	1	0	1	0	1	0
3	Р6	0			0	0		0	1
					0	0		1	0

Из таблицы видно, что исходная задача имеет оптимальный план , а двойственная задача- оптимальный план . Следовательно, цена игры , а оптимальные стратегии игроков , .

Задания.

Порядок выбора вариантов.

Всего в работе 4 задачи. Номера вариантов по каждому заданию выбираются по буквам фамилии студента в соответствии с таблицей:

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
буквы	А	Б	В	Г	Д	Е	Ё	Ж	З	И
	К	Л	М	Н	О	П	Р	С	Т	У
	Ф	Х	Ц	Ч	Ш	Щ	Ъ	Ы	Ь	Э
	Ю	Я

Если фамилия студента состоит меньше, чем из четырех букв, недостающие буквы берутся с начала фамилии. Например, для студента с фамилией Петров должны быть выбраны следующие варианты заданий:

Из первой задачи условие № 6 (буква П);

Из второй задачи условие № 6 (буква Е);

Из третьей задачи условие № 9 (буква Т);

Из четвертой задачи условие № 7 (буква Р).

Работа должна быть выполнена в тетради с приведением всех необходимых вычислений.

Задача 1. Решить задачи симплекс-методом, дать решению геометрическую интерпретацию. Во всех заданиях иметь в виду, что переменные неотрицательны.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Задача 2. На трех складах А, В, С находится горючее, соответственно 50, 90, 110 тонн, которое надо доставить в три пункта: в пункт 1 – 70 т, в пункт 2 – 100 т, в пункт 3 – Х т. Стоимость доставки одной тонны горючего со склада А в указанные пункты соответственно равны , , грн., со склада В - , , грн., со склада С - , , грн.

Используя условия баланса транспортной задачи, найти потребности в горючем пункта 3, определить оптимальный план перевозки горючего в три пункта, минимизирующий стоимость перевозок.

1. . 2. . 3. . 4.

5. . 6. . 7. . 8. .

9. . 10. .

Задача 3. Проанализировать игру, используя принцип минимакса. Найти решение в смешанных стратегиях методами линейного программирования.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. . 8. . 9. .10. .

Задача 4. Найти решение игр, определяемых следующими матрицами:

1. . 2. . 3 .

4. . 5. . 6. . 7. . 8. .

9. . 10. .