6. Транспортная задача.

Транспортная задача является важной задачей линейного программирования. Она возникает при планировании наиболее рациональных перевозок грузов. В одних случаях это означает определение такого плана перевозок, при котором стоимость перевозок была бы минимальной. В других случаях это означает выигрыш во времени.

Первая задача получила название транспортной задачи по критерию стоимости, вторая – по критерию времени.

Транспортная задача формулируется следующим образом [7]: предположим, что имеется складов, где хранится некоторый продукт в количествах , и имеется n пунктов реализации этого продукта, потребности которых равны . Требуется найти наиболее экономичный способ перевозки продукта со складов к потребителям, если затраты на перевозку продукта с - того склада на пункт равны . Обозначим - количество продукта, перевозимого - того склада на пункт потребителя, тогда требуется найти минимум стоимости перевозок:

.

Суммы и являются количествами вывезенного продукта с - того склада и потребленного продукта потребителем. Так как весь продукт должен быть вывезен и все потребители удовлетворены, то накладывается система ограничений:

, ,

, , .

План перевозок записывается в виде матрицы

.

План, минимизирующий суммарные транспортные издержки, называется оптимальным или решением транспортной задачи.

Совокупность величин записывается в виде матрицы, которая называется матрицей транспортных издержек:

.

Теорема. Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие баланса:

,

т.е. чтобы суммарный объем производства был равен суммарному объему потребителя.

Замечание. Количество неизвестных должно быть равно .

Решение транспортной задачи начинается с первоначального базисного распределения поставок. Базисное распределение поставок производится методом северо-западного угла или методом минимального элемента. Рассмотрим на следующем примере эти методы.

Пример 3 [7]. Пусть дано:

Поставщики	Мощность поставщиков	Потребители и их спрос
		1	2	3	4
		20	110	40	110
1	60	1	2	5	3
2	120	1	6	5	2
3	160	6	3	7	4

Составим базисный план распределения поставок методом северо-западного угла. Для этого в крайнюю левую ячейку (северо – западный угол) таблицы дадим максимально

возможное значение – 20. После этого спрос первого потребителя будет полностью удовлетворен. Остальные клетки первого столбца заполняем нулями. Следующий северо – западный угол таблицы – клетка . Ей придаем максимально возможное значение 40, так как мощность первого поставщика равна 60, а 20 он уже отдал. Остальные клетки первой строки заполняем нулями. Следующий северо – западный угол – это клетка . В нее мы можем дать 70, так как 110-40=70. Остальные клетки второго столбца закрываем нулями. Действуя далее аналогично, в итоге получим таблицу:

	20	110	40	110
60	1	2	5	3
	20	40	0	0
120	1	6	5	2
	0	70	40	10
160	6	3	7	4
	0	0	0	100

Суммарные транспортные издержки согласно данному плану:

Существенным недостатком метода северо – западного угла является то, что план построен без учета значений коэффициентов затрат задачи.

Более эффективное базисное решение может быть получено методом минимального элемента. Сущность этого метода состоит в выборе клетки с минимальным тарифом. Выбор пунктов назначения и отправления целесообразно производить, ориентируясь на тарифы перевозок, а именно, на каждом шаге следует выбирать какую-нибудь клетку, отвечающую минимальному тарифу (если таких клеток несколько, то можно выбрать любую из них), и рассмотреть пункты назначения и отправления, соответствующие выбранной клетке [Акулич].

В данном случае таких клеток две: и . Максимально возможные поставки . Так как они совпадают, то максимально возможная поставка дается в любую из них – например, в клетку . Далее алгоритм тот же. В итоге получим следующий опорный план:

	20	110	40	110
60	1\20	2\40	5\0	3\0
120	1\0	6\0	5\10	2\110
160	6\0	3\70	7\30	4\0

Суммарные транспортные издержки согласно данному плану:

Что значительно меньше, чем в методе северо – западного угла. Полученный план проверим на оптимальность методом потенциалов [8].

Если , то - свободная переменная. Каждому пункту отправления ставится в соответствие потенциал . Потенциалы находятся из системы для базисных переменных. В нашем случае:

, , , .

Пусть , тогда , , , , , , .

Для свободных переменных найдем косвенные стоимости:

, , , , , , .

Для свободных переменных находим коэффициенты:

.

Итак, , ,

, ,

, .

Если , то эта клетка должна быть закрыта. В нашем случае таковой является клетка (1,3). Закроем ее клетками (2,3) и (2,4). Из первой строки 10 переведем из клетки (1,1) на (2,1) а 30 с (1,2) на (3,2). Получим:

	20	110	40	110
60	1\10	2\10	5\40	3\0
120	1\10	6\0	5\0	2\110
160	6\0	3\100	7\0	4\0

Суммарные транспортные издержки согласно данному плану:

Проверка плана на оптимальность:

, , , , .

Пусть , тогда , , , , .

Для свободных переменных найдем косвенные стоимости:

, , , , ,

.

Для свободных переменных находим коэффициенты:

, ,

, ,

, .

Так как все , то полученный план является оптимальным.