2. Существующие математические программные системы.
Решение задач линейного программирования – это достаточно трудоемкий процесс, особенно при большом числе переменных и ограничений. Поэтому решать такие задачи целесообразно с применением ЭВМ. Табличный симплекс-метод хорошо приспособлен для программирования и машинного счета. Существуют программные реализации симплекс-метода. В настоящее время появились интегрированные математические программные системы для научно-технических расчетов: Eureka, PC MatLAB, MathCAD, Derive Maple V, Mathematica 2, Mathematica 3 , и др.
Широкую известность и заслуженную популярность приобрели математические системы класса MathCAD, разработанные фирмой MathSoft (США). Это единственные математические системы, в которых описание математических задач дается с помощью привычных математических формул и знаков [4].
3. Решение задачи линейного программирования графическим методом.
Нахождение решения задачи ЛП (1) – (2) на основе ее геометрической интерпретации [5] включает следующие этапы:
Строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях (2) знаков неравенств на знаки точных равенств.
Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
Находят многоугольник решений.
Строят вектор
.Строят прямую
,
проходящую через многоугольник решений.Передвигают прямую в направлении вектора
,
в результате чего находят точку (точки),
в которой целевая функция принимает
максимальное значение, либо устанавливают
неограниченность сверху функции на
множестве планов.Определяют координаты точки максимума функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке.
4. Геометрическая интерпретация двойственных задач.
Если число переменных прямой и двойственной задачи, образующих данную пару, равно двум, то, используя геометрическую интерпретацию задачи ЛП, можно легко найти решение данной пары задач. При этом имеет место один из следующих трех взаимно исключающих друг друга случаев:
1). обе задачи имеют планы;
2). планы имеет только одна задача;
3). для каждой задачи двойственной пары множество планов пусто.
Рассмотрим пример [5].
Пример 1. Для задачи, состоящей в
определении максимального значения
функции
при условиях
составить двойственную и найти решение обеих задач.
Решение.
Двойственной задачей по отношению к
исходной является задача, состоящая в
определении минимального значения
функции
при условиях
.
Как в исходной, так и в двойственной задаче число неизвестных равно двум. Следовательно, их решение можно найти, используя геометрическую интерпретацию задачи линейного программирования. (РИС. 1, РИС.2).
РИС.1. РИС. 2.
Как видно из рисунка 1, максимальное
значение целевая функция исходной
задачи принимает в точке В.
Следовательно,
является оптимальным планом, при котором
.
Минимальное значение целевая функция
двойственной задачи принимает в точке
Е (РИС.2). Значит,
является оптимальным планом двойственной
задачи, при котором
.
Таким образом, значения целевых функций исходной и двойственной задач при их оптимальных планах равны между собой.