Расчет напряженности электрического поля трехфазной линии по методу зеркальных отображений
Рассмотрим
одну фазу линии, например фазу А (рис.
2), приняв заряд провода положительным
,
а заряд его зеркального отображения
отрицательным
.
Модуль вектора напряженности электрического поля в некоторой точке P, обусловленного зарядом , В/м:
, (3.1)
где
-
кратчайшее расстояние от точки P
до фазы A, м.
Модуль вектора напряженности электрического поля в некоторой точке P, обусловленного зарядом , В/м:
, (3.2)
где
-
кратчайшее расстояние от точки P
до зеркального отображения фазы A,
м.
Разложим
векторы
и
на их составляющие по горизонтали
и
,
и вертикали
и
(рисунок
2).
Модули этих векторов определяются по выражениям:
(3.3)
(3.4)
Рис. 2 – Расчет напряженности электрического поля трехпроводной воздушной линии электропередачи в точке P методом зеркальных отображений.
А, В, С – фазы (провода) линии; А/, В/, С/ – зеркальные отображения фаз;
mA, mB, mC – кратчайшие расстояния от точки Р до фаз линий; nA, nB, nC – кратчайшие расстояния от точки Р до зеркальных отображений фаз.
(3.5)
(3.6)
где x - расстояние по горизонтали от вертикальной оси симметрии линии до рассматриваемой точки P, м;
d – расстояние между осями соседних проводов линии, м;
H – высота размещения провода над землей, м;
h – высота точки P над землей, м.
Сложение
векторов
и
,
а также векторов
и
получаем векторы
и
,
которые являются соответственно
горизонтальной и вертикальной
составляющими вектора напряженности
поля фазы А (с учетом ее зеркального
отображения) в точке P.
При этом, поскольку векторы и имеют противоположенные направления (рис. 2), модуль суммарного вектора равен разности модулей этих векторов, В/м:
(3.7)
Модуль суммарного вектора равен сумме модулей векторов и , В/м:
(3.8)
Подставим в выражение (3.8) зависимости (3.1) и (3.2):
(3.9)
(3.10)
Поскольку мы рассматриваем воздушные линии электропередач переменного тока, заряд провода A и напряженности EAx и EAy являются синусоидальными функциями времени, т.е. их можно изображать комплексными величинами.
Линейный заряд фазы А определяется её емкостью и напряжением:
(3.11)
Подставим зависимость (3.11) в выражения (3.9) и (3.10):
(3.12)
(3.13)
где CА – емкость фазы А относительно земли, Ф/м;
- комплекс напряжения фазы А относительно
земли (эффективное значение фазного
напряжения), В;
k1, k2, k3, k4, k5, k6 – коэффициенты, рассчитываемые по формулам:
Отрезки m и n являются гипотенузами соответствующих прямоугольных треугольников (рис. 2) и определяются следующими выражениями:
Аналогично находятся выражения для горизонтальных и вертикальных составляющих напряженностей фаз B и C:
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
Горизонтальная и вертикальная составляющие напряженности суммарного поля В/м, т.е. обусловленные зарядами всех фаз линии и их зеркальных отображений, будут равны:
; (3.18)
(3.19)
Подставляем в выражения (3.18) и (3.19) зависимости (3.12)-(3.17). При этом допускаем, что емкость всех фаз одинаковы:
.
и трехфазная система напряжений симметрична:
,
где Uф - фазное напряжение линии, В;
a – фазовый оператор:
.
Учитывая выше сказанное, получаем:
(3.20)
(3.21)
В действительной форме выражения (3.20) и (3.21) имеет вид:
(3.22)
(3.23)
Искомая напряженность электрического поля трехфазной воздушной линии электропередачи:
(3.24)
Подставив выражения (3.22) и (3.23) в (3.24), получим окончательное выражение напряженности электрического поля:
Емкость фазы трехфазной линии относительно земли на единицу длины линии:
(3.25)
где Hср – средняя высота подвеса проводов над поверхностью земли, м.
При расщепленных фазах, состоящих из n проводов радиусом r0, и с расстоянием между ними (шаг расщепления) a, вместо r в формуле (3.25) учитывают эквивалентный радиус rэкв, м:
,
(3.26)
где P – поправочный коэффициент.
При n=2 и n=3 коэффициент P=1, а при n=4 P=1,09