МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НЕФТЕКАМСКИЙ ФИЛИАЛ

ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Экономико-математический факультет

Кафедра математического моделирования

Контрольная работа

по курсу «Эконометрика»

Выполнил: студент 4 курса

специальности «Финансы и кредит»

экономико-математического факультета,

заочного отделения

группы Э-41з

Ахмадишина Д.Д.

№ зачетной книжки 10434

Проверил: ст. пр. Файдрахманова Г.Ф.

Нефтекамск 2013

Задание №1.

Необходимо: собрать данные (экономические показатели), должно быть не менее 10 наблюдений зависимой переменной (Y) и независимой переменной (Х).

Требуется:

1. Построить регрессионные модели зависимости Y от X и отобразить на графиках фактические и расчетные данные следующих моделей:

• линейной,

• степенной,

• показательной,

• гиперболической.

2. Оценить каждую модель, определив:

1. Характеристики модели:

• ² (остаточная дисперсия)

• r_ХY (индекс корреляции),

• R² (коэффициент детерминации).

• (коэффициент эластичности),

• (бета-коэффициент).

1. Значимость уравнения множественной регрессии в целом (F- критерий Фишера).

2. Значимость коэффициентов уравнения регрессии (t-критерий Стьюдента).

3. Произвести проверку выполнения условий для получения «хороших» оценок методом наименьших квадратов (МНК):

• Математическое ожидание случайной компоненты равно 0, иначе М(εi)=0. (с помощью t-критерия Стьюдента)

• Дисперсия должна быть постоянной, т. е. D(εi)=const=σ2 (с помощью F-критерия Фишера)

• Коввариация должна быть равна 0, иначе по формуле: cov(εi,εj) = 0 (с помощью d- критерия Дарбина-Уотсона (D-W)).

1. Найти Eотн (среднюю относительную ошибку).

3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

4. Рассчитать прогнозные значения по результативной модели, если прогнозное значение фактора увеличивается на 110% относительно среднего уровня.

5. Отобразить на графике фактические данные, результаты расчетов и прогноз по результативной модели.

Таблицa №1 «Экономические данные»

Состав безработных по полу в 2010 г.

Муж	74	23	15	78	31	46	53	31	59	57
Всего	143	38	30	127	64	75	99	57	107	99

Данные взяты из сайта Федеральной службы государственной статистики Российской Федерации из сборника «Труд и занятость в России» за 2010 год. Ссылка: http://www.gks.ru/bgd/regl/b10_36/IssWWW.exe/Stg/d1/01-23.htm

Дата обращения: 3 мая 2011 год

СВОДНАЯ ТАБЛИЦА

№	Обозначение		Формула	Значение									Примечание
1				Линейная модель		Степенная модель			Показательная модель		Гиперболическая модель
						; ;			; ;		; ; ;
		В своем виде
		В линейном виде
				3,42		0,34			1,41		137,4
				1,72		0,95			0,01		-1950,11
				3,42		2,20			25,42		137,74
				1,72		0,95			1,02		-1950,11
2.1.1	σ² остаточ. дисп-я			53,50		0,0013645			0,0038554		350,15		Чем меньше остаточ. дисп-я, тем лучше регресс. ур-е (явл-ся размерной величиной)
2.1.2	R² коэф. детерминации			0,97	Хор. кач-во подгонки	0,98		Хор. кач-во подгонки	0,93	Хор. кач-во подгонки	0,78	Хор. кач-во подгонки	0<=R²<=1, чем ближе к 1, тем лучше качество подгонки.
2.1.3	rxy индекс корреляции			0,98	Связь прямая сильная	0,99		Связь прямая сильная	0,96	Связь прямая сильная	-0,88	Связь обратная сильная	IrxyI>0,7- сильная связь; >0-связь прямая, <0-обратная.
2.1.4	Эyx коэф. эластичности			0,96		0,82			0,25		-0,64		Показ-т, на ск-ко % изм-ся результивный признак, при изм-ии факторного на 1 %.
2.1.5	бета-коэф.			0,98		0,99			0,96		-0,88		Бета-коэффициент показывает, на какую часть величины изм-ся в среднем значение результатив. признака Y, при изм-и фактор. признака X на величину его среднего квадратического отклонения.
	Средние квадратические ошибки выборки величины y и x			35,43		0,21			0,21		35,43
				20,20		0,22			20,20		0,02
2.2	Значимость урав-я множ-ой регрессии в целом (F-крите-рий Фишера)			226,61	Линейная связь есть	807,60	Линейная связь есть		108,25	Линейная связь есть	27,84	Линейная связь есть	Если Fтаб.=5,32 <Fрасч., то H0 :об отсутствии линейной связи между X и Y отвергаем с вероятностью 95%.n1=1,n2=n-2
2.3	Значимость коэф. ур-я регресссии (t-критерий Стьюдента)			26,40	Х влият на У сущ-но	17,90	Х влият на У сущ-но		10,40	Х влият на У сущ-но	-5,28	Х влият на У сущ-но	Если tрасч. > tтаб=2,31, то x влияет на у существенно, т.е.b не равно 0, с заданной вероятностью p. Для tтаб используется степень свободы n-2.
	Стандартная ошибка коэффициента			0,07		0,05			0,00097		369,56
2.4.1	(с помощью t-критерия Стьюдента)			1,88		1,93			10,40		1,93		Проверяем нулевую гипотезу о том, что среднее арифмет-е знач-е ур-й ряда остатков по модулю равно нулю ( : ). Если tрасч. > tтаб =2,26 с n-1 степенью свободы, то гипотеза откл-ся с заданной вероятностью.
	Среднее квадрат-е отклонение			8,84		0,05			0,08		23,06
	Среднее арифмет-е знач-е уровней ряда			5,25		0,03			0,05		14,09
2.4.2.	(с пом. F-крите-рий Фишера)			3,87		3,50			4,77		2,68		Если Fтаб.=6,39 >Fрасч., то : об увел-ии дисперсии принимаем с вероятностью 95%. Для Fтаб исп-ся степени свободы n1=1n/2-1, n2=n/2-1
2.4.3	(с пом. d-крите-рия Дарбина-Уотсена (D-W))			2,77		3,41			1,48		1,92		1 < dрасч.<2 – не корр.;2 < d1–автокорр;3 <dрасч.<d2 -неопред.,4 .>2, то преобразуют по формуле d΄р=4-dр, при наличии корр.-отриц.корр.Если же неопред.,то можно воспольз.1-м коэфф. корр.Если r1р<r1таб. ,то м.б.принята.
	d1таб.=1,08d2таб.=1,36 r1таб=0,36			-0,57		-0,79			0,26		-0,14
2.5.	Еотн. (средняя относительная ошибка)			6,32		0,23			2,55		23,10		Если Еотн. < 15%, то считается, что модель построена с приемлемой точностью.

Результатом данной работы стало построение модели состава безработных по полу на 2010 год.

Вывод по линейной модели:

Линейная зависимость имеет вид:

Y= 3,42+1,72*X+ σ²

Показатели качества подгонки свидетельствуют о соответствии расчетных значений фактическим, т.к. дисперсия σ²=53,50 (чем меньше остаточная дисперсия, тем лучше регрессионное уравнение), F=226,61.

Коэффициент детерминации R²=0,97, т.к. он близок к 1, то выше качество подгонки. Это говорит о соответствии регрессионного уравнения реальным данным (т.к. R²→1).

Индекс корреляции r_xy=0,98, т.к. он близок к 1, то это говорит о сильной связи между переменными.

Коэффициент эластичности Э_ху = 0,96, что показывает, на сколько процентов изменится результативный признак (Y), при изменении факторного (X) на 1 %.

Бета-коэффициент = 0,98 показывает, на какую часть величины изменится в среднем значение результативного признака Y, при изменении факторного признака X на величину его среднего квадратического отклонения. S_y = 35,43 и S_x = 20,20.

В ходе выполнения работы были выдвинуты следующие гипотезы:

• Об отсутствии линейной связи в результате определения значений F-статистики и сравнениями его с табличными значениями. Данная гипотеза была отвергнута с вероятностью 95%, Fтаб.=5,32 <Fрасч.=226,61, т.е. линейная связь существует.

• Гипотеза о несущественном влиянии х на у. После сравнения рассчитанного значения t-статистики и t_таб. Данная гипотеза была отвергнута с вероятностью 95%, так как значимость коэффициента уравнения регресссии (t-критерий Стьюдента) равно 26,40, что говорит о том, что Х влияет на У существенно.

При проверке «хороших» свойств оценки коэффициентов регрессии были выдвинуты следующие гипотезы:

• М(Е_i)=0 принимается, т.к. t_расч<t_таб (если tрасч.=1,88 > tтаб =2,26 с n-1 степенью свободы, то гипотеза отклоняется с заданной вероятностью.) с вероятностью 95%.

• D=const. Проверка показала, что условие не выполняется, т.к. F_расч<F_таб, (Fтаб.=6,39 >Fрасч=3,87), т.е.D(E_i) возрастает и не постоянна с вероятностью 95%.

• cov(E_j E_i)=0. Расчёты показали присутствие положительной корреляции dрасч = 2,77, т.е. модель адекватна.

• Е_отн=6,32 % < 15%, т.е. модель построена на высоком уровне точности.

Вывод по степенной модели:

Линейная зависимость имеет вид:

Y= 0,34+0,95*X

Показатели качества подгонки свидетельствуют о соответствии расчетных значений фактическим, т.к. дисперсия σ²=0,0013645 (чем меньше остаточная дисперсия, тем лучше регрессионное уравнении).

Коэффициент детерминации R²=0,98, т.к. он близок к 1, то выше качество подгонки. Это говорит о соответствии регрессионного уравнения реальным данным (т.к. R²→1).

Индекс корреляции r_xy=0,99, т.к. он близок к 1, то это говорит о сильной связи между переменными.

Коэффициент эластичности Э_ху = 0,82, что показывает, на сколько процентов изменится результативный признак (Y), при изменении факторного (X) на 1 %.

Бета-коэффициент = 0,99 показывает, на какую часть величины изменится в среднем значение результативного признака Y, при изменении факторного признака X на величину его среднего квадратического отклонения. S_y = 0,21 и S_x = 0,22.

В ходе выполнения работы были выдвинуты следующие гипотезы:

• Об отсутствии линейной связи в результате определения значений F-статистики и сравнениями его с табличными значениями. Данная гипотеза была отвергнута с вероятностью 95%, Fтаб.=5,32 <Fрасч.=807,60, т.е. линейная связь существует.

• Гипотеза о несущественном влиянии х на у. После сравнения рассчитанного значения t-статистики и t_таб. Данная гипотеза была отвергнута с вероятностью 95%, так как значимость коэффициента уравнения регресссии (t-критерий Стьюдента) равно 17,90, что говорит о том, что Х влияет на У существенно.

При проверке «хороших» свойств оценки коэффициентов регрессии были выдвинуты следующие гипотезы:

• М(Е_i)=0 принимается, т.к. t_расч<t_таб (если tрасч.=1,93 > tтаб =2,26, то гипотеза отклоняется с заданной вероятностью.) с вероятностью 95%.

• D=const. Проверка показала, что условие не выполняется, т.к. F_расч<F_таб, (Fтаб.=6,39 >Fрасч=3,50), т.е.D(E_i) возрастает и не постоянна с вероятностью 95%.

• cov(E_j E_i)=0. Расчёты показали присутствие автокорреляции dрасч = 3,41, но так как r1расч=-0,79 < r1таб.=0,36, то гипотеза может быть принята.

• Е_отн=0,23 % < 15%, т.е. модель построена на высоком уровне точности.

Вывод по показательной модели:

Линейная зависимость имеет вид:

Y= 1,41+0,01*X

Показатели качества подгонки свидетельствуют о соответствии расчетных значений фактическим, т.к. дисперсия σ²=0,0038554 (чем меньше остаточная дисперсия, тем лучше регрессионное уравнении).

Коэффициент детерминации R²=0,93, т.к. он близок к 1, то выше качество подгонки. Это говорит о соответствии регрессионного уравнения реальным данным (т.к. R²→1).

Индекс корреляции r_xy=0,96, т.к. он близок к 1, то это говорит о сильной связи между переменными.

Коэффициент эластичности Э_ху = 0,25, что показывает, на сколько процентов изменится результативный признак (Y), при изменении факторного (X) на 1 %.

Бета-коэффициент = 0,96 показывает, на какую часть величины изменится в среднем значение результативного признака Y, при изменении факторного признака X на величину его среднего квадратического отклонения. S_y = 0,21 и S_x = 20,20.

В ходе выполнения работы были выдвинуты следующие гипотезы:

• Об отсутствии линейной связи в результате определения значений F-статистики и сравнениями его с табличными значениями. Данная гипотеза была отвергнута с вероятностью 95%, Fтаб.=5,32 <Fрасч.=108,25, т.е. линейная связь существует.

• Гипотеза о несущественном влиянии х на у. После сравнения рассчитанного значения t-статистики и t_таб. Данная гипотеза была отвергнута с вероятностью 95%, так как значимость коэффициента уравнения регресссии (t-критерий Стьюдента) равно 10,40, что говорит о том, что Х влияет на У существенно.

При проверке «хороших» свойств оценки коэффициентов регрессии были выдвинуты следующие гипотезы:

• М(Е_i)=0 принимается, т.к. t_расч<t_таб (если tрасч.=10,40 > tтаб =2,26, то гипотеза отклоняется с заданной вероятностью.) с вероятностью 95%.

• D=const. Проверка показала, что условие не выполняется, т.к. F_расч<F_таб, (Fтаб.=6,39 >Fрасч=4,77), т.е.D(E_i) возрастает и не постоянна с вероятностью 95%.

• cov(E_j E_i)=0. Расчёты показали, что данная модель не коррелируема dрасч = 1,48, но так как r1расч=0,26 < r1таб.=0,36, то гипотеза может быть принята.

• Е_отн=2,55 % < 15%, т.е. модель построена на высоком уровне точности.

Вывод по гиперболической модели:

Линейная зависимость имеет вид:

Y= 137,74 - 1950,11*X

Показатели качества подгонки свидетельствуют о соответствии расчетных значений фактическим, т.к. дисперсия σ²=350,15 (чем меньше остаточная дисперсия, тем лучше регрессионное уравнении).

Коэффициент детерминации R²=0,78, т.к. он близок к 1, то выше качество подгонки. Это говорит о соответствии регрессионного уравнения реальным данным (т.к. R²→1).

Индекс корреляции r_xy=-0,88, то это говорит о сильной обратной связи между переменными.

Коэффициент эластичности Э_ху = -0,64, что показывает, на сколько процентов изменится результативный признак (Y), при изменении факторного (X) на 1 %.

Бета-коэффициент = -0,88 показывает, на какую часть величины изменится в среднем значение результативного признака Y, при изменении факторного признака X на величину его среднего квадратического отклонения. S_y = 35,43 и S_x = 0,02.

В ходе выполнения работы были выдвинуты следующие гипотезы:

• Об отсутствии линейной связи в результате определения значений F-статистики и сравнениями его с табличными значениями. Данная гипотеза была отвергнута с вероятностью 95%, Fтаб.=5,32 <Fрасч.=27,84, т.е. линейная связь существует.

• Гипотеза о несущественном влиянии х на у. После сравнения рассчитанного значения t-статистики и t_таб. Данная гипотеза была отвергнута с вероятностью 95%, так как значимость коэффициента уравнения регресссии (t-критерий Стьюдента) равно -5,28, что говорит о том, что Х влияет на У не существенно.

При проверке «хороших» свойств оценки коэффициентов регрессии были выдвинуты следующие гипотезы:

• М(Е_i)=0 принимается, т.к. t_расч<t_таб (если tрасч.=1,93 > tтаб =2,26, то гипотеза отклоняется с заданной вероятностью.) с вероятностью 95%.

• D=const. Проверка показала, что условие не выполняется, т.к. F_расч<F_таб, (Fтаб.=6,39 >Fрасч=2,68), т.е.D(E_i) возрастает и не постоянна с вероятностью 95%.

• cov(E_j E_i)=0. Расчёты показали присутствие положительной корреляции dрасч = 1,92, но так как r1расч=-0,14 < r1таб.=0,36, то гипотеза может быть принята.

• Е_отн=23,10 % > 15%, т.е. модель построена не на высоком уровне точности.

После сравнения характеристик линейной, степенной, показательной, гиперболической модели, сделан вывод, что лучшей моделью является степенная:

Y_.= 2,20*Х^0,95+Е

(у=0,34+0,95*Х – в линейном виде).

Прогнозировaние осуществляется путем подстановки в регрессионное уравнение прогнозного знaчения aргумента. Т.е. прогнозное значение Y опредeляется слeдующим образом:

Yпрогн.=f(Xпрогн.)

46,7*110%=51,37 (для степенной модели)

=1,71

92,81

= =1,96

Доверительный интервал:

где ; .

Делaем прогноз для линeйной модели построeнной для степенной.

tтаб.= = 2,31, 0,05 тогда 0,12

Приложение А

Приложение Б

Таблица 1 - линeйная модель с интервальным прогнозом.

	lgY=y	lgX=x	Ŷ	точечный прогноз	нижная граница прогноза	верхная граница прогноза
1	2,16	1,87	2,11
2	1,58	1,36	1,63
3	1,48	1,18	1,46
4	2,10	1,89	2,14
5	1,81	1,49	1,76
6	1,88	1,66	1,92
7	2,00	1,72	1,98
8	1,76	1,49	1,76
9	2,03	1,77	2,02
10	2,00	1,76	2,01
Прогноз		1,71		1,96	1,84	2,08

Таблица 2 - степенная модель с интервальным прогнозом

	Y	X	Ŷ	точечный прогноз	нижная граница прогноза	верхная граница прогноза
1	143	74	2,11
2	38	23	1,63
3	30	15	1,46
4	127	78	2,14
5	64	31	1,76
6	75	46	1,92
7	99	53	1,98
8	57	31	1,76
9	107	59	2,02
10	99	57	2,01
Прогноз		51,37		92,81	69,18	120,23

Задание №2.

Необходимо: собрать данные (экономические показатели), должно быть не менее 15 наблюдений зависимой переменной Y и независимых переменных X₁, X₂, X₃.

Требуется:

1. С помощью корреляционного анализа осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.

2. Рассчитать параметры модели.

3. Для характеристики модели определить:

• линейный коэффициент множественной корреляции,

• коэффициент детерминации,

• средние коэффициенты эластичности,

• бета-, дельта – коэффициенты.

Дать их интерпретацию.