Вычисление площадей криволинейных трапеций

Криволинейной трапецией называется плоская фигура ограниченная линиями x = a, x = b, y =0, y = f(x).

Примеры криволинейных трапеций

Вычисление площадей плоских фигур

Рассмотрим плоскую фигуру, представляющую собой множество точек плоскости лежащих в полосе между прямыми x = a, x = b и ограниченное сверху графиком непрерывной функции y = f(x) и снизу графиком непрерывной функции y = g(x) . Причем f(x) > g(x) на промежутке (a; b) и f(a) = g(a), f(b) = g(b).

Примеры плоских фигур

Решение интегралов

Ключевые слова: первообразная функция, производная, правила интегрирования, формула Ньютона – Лейбница

Интегралом от a до b функции f называется приращение первообразной F этой функции, т.е. F(b) - F(a). Очевидно, что это приращение не зависит от выбора первообразной.

Интеграл от a до b функции f обозначается так: f(x)dx . Числа a и b называются пределами интегрирования, a - нижним, b - верхним пределом. знак   называется знаком интеграла, функция f - подынтегральной функцией, x - переменной интегрирования. Отрезок с концами a и b называется отрезком интегрирования.

Верхний предел интегрирования необязательно больше нижнего предела; может быть a > b, a = b.

Формула Ньютона - Лейбница: f(x)dx=F(x) a=F(b)−F(a) .

Формула для вычисления площади криволинейной трапеции: S= f(x)dx=F(x) a=F(b)−F(a) . Формула верна для любой функции f, непрерывной на отрезке [a;b]

Основные правила интегрирования

• Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: k f(x)dx=k f(x)dx , где k - постоянная.

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов: (f(x)+g(x))dx= f(x)dx+ g(x)dx .