Касательная к графику функции

Рассмотрим произвольную функцию y =f(x). Выберем на графике две произвольные точки А и В. Рассмотрим предельное положение секущей АВ при .

Рис.2

1. Касательной к кривой в данной точке А называется предельное положение секущей АВ, когда точка В стремится вдоль кривой к точке А.

2. Угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания x :

k = tg = = .

В этом заключается геометрический смысл производной.

Если ₀) , то .

Если функция дифференцируема в некоторой точке х, то в этой точке к графику можно провести касательную; верно и обратно: если в точке х к графику можно провести невертикальную касательную, то функция дифференцируема в этой точке

Замечание. Если же ₀) не существует, то касательная в точке с абсциссой x₀ либо не существует (как у функции у = в точке (0; 0)), либо она вертикальная (как у функции у = в точке (0; 0)).

Рис. 3

3. Уравнение касательной к графику функции.

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х = х₀. (Производная функции в точке х₀ существует)

Решение. Уравнение любой прямой имеет вид y = kx +b.В случае уравнения касательной имеем k = (x₀).Тогда запишем уравнение прямой, являющейся касательной в виде y = ₀)x + b. Значит, задача сводиться к отысканию коэффициента k.Для его вычисления воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку графика функции с координатами (х_0;f(x₀)). Это значит, что если подставить координаты этой точки в уравнение прямой, получим верное равенство: f(x₀) = ₀)x_{0 +} b, откуда находим, что b = f(x₀) - ₀) x₀. Подставляя найденные значения коэффициентов k и b в уравнение прямой y = kx +b, получим уравнение касательной y = f(x₀) + ₀)(x-x₀).

Пример. Составить уравнение касательной к графику функции y = x³-2x²+1, в точке х₀ = 2.

1. f(x₀) = 2³- 2*2²+1 = 8 – 8 + 1 = 1

2. (x) = 3x² – 4x

3. (x₀) = (2) = 3*2² – 4*2 = 12 – 8 = 4

4. y = f(x₀)+ (x₀) (x-x₀) = 1 + 4 (x – 2 ) =1 +4x – 8 = 4x – 7

Ответ: y = 4x – 7

Интервалы монотонности. Экстремумы функции

Рис.4

Одной из основных задач исследования функции является нахождение промежутков ее возрастания и убывания, экстремумов.

Теорема. Если функция f имеет положительную производную в каждой точке интервала (а; в), то функция возрастает на этом интервале. Если функция f имеет отрицательную

производную в каждой точке интервала (а; в), то функция убывает на этом интервале.

Определение: Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками функции.

Необходимое условие существования экстремума.

Теорема Ферма. Если точка х₀ является точкой экстремума функции f(x) и в этой точке существует производная функции f(x), то она равна нулю, т. е. = 0.

Так, функция, график которой изображен на рисунке, имеет экстремумы в точках х_1, х_2,х_{3 и} х_4.В точках х₁ и х₂ к графику функции можно провести касательные, причем эти касательные параллельны оси х, а значит, угловой коэффициент каждой из касательных равен нулю - ₁) = 0 и ₂) = 0. В точках х₃ и х₄ производная не существует.

Итак, экстремумы функции могут достигаться только в критических точках. Обратное утверждение не верно: не во всякой критической точке функция имеет экстремум. Так, функция у = х³ имеет одну критическую точку х = 0 (в этой точке ), но не имеет в этой точке ни максимума, ни минимума.

Достаточное условие существования экстремума.

Пусть функция непрерывна и имеет производную в некоторой окрестности точки х_{0 .} Тогда:

если на интервале (а; х₀) и на интервале (х₀;в) (т.е. производная меняет знак с ), то х₀ – точка функции f(x).

Правило отыскания промежутков монотонности (возрастания и убывания) и экстремумов функции у =f(x)

1. Найти производную .

2. Найти критические точки – точки, где или не существует.

3. Найти промежутки знакопостоянства производной: решить неравенства > 0 и .

4. С помощью достаточного признака исследовать функцию в критических точках на экстремум.

Вычислить значения функции в экстремальных точках. Пример.

Найти промежутки монотонности и исследовать на экстремум функцию у = х³ – 27х.

1. Находим производную

3х² – 27.

в точках х =3; х = 0 и х = - 3 (это критические точки).

Для решения неравенств и воспользуемся методом промежутков. Отметим на координатной прямой критические точки и определим знаки производной на полученных промежутках.

+ - + -

_______________________________

- 3 0 3

Функция возрастает на промежутках (-∞; -3) и(0;3) и убывает на промежутках (-3;0) и (3; ∞).

Точки х = -3 и х = 0 – точки максимума, y_max = 54, y_max = 0, а х = 0 – точка минимума и y_min = 0.