Возвратные уравнения.

Уравнение вида

a_nxⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + … +a₁x + a₀ = 0

называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если

a_{n – 1} = a_k, при k = 0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0,

где a, b и c — некоторые числа, причём a  0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:

• разделить левую и правую части уравнения на x². При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при a  0;

• группировкой привести полученное уравнение к виду

a(x² + 1 / x²) + b(x + 1 / x) + c = 0;

• ввести новую переменную t = x + 1 / x, тогда выполнено

t² = x² + 2 + 1 / x², то есть x² + 1 / x² = t² – 2;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:

at² + bt + c – 2a = 0;

• решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения.

Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой

x + 1 / x = t.

Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x= -1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.

Пример 4.21. Рассмотрим, например, возвратное уравнение пятой степени

ax⁵ + bx⁴ + cx³ + cx² + bx + a = 0

Легко видеть, что x = – 1 является корнем этого уравнения, а потому по теореме Безу многочлен в левой части уравнения делится на x + 1. В результате такого деления получится возвратное уравнение четвёртой степени.

Довольно часто в процессе решения задач вступительных экзаменов возникают рациональные уравнения степени выше второй, которые не удаётся решить с помощью очевидной замены переменной. В этом случае попытайтесь отгадать какой-нибудь корень уравнения. Если попытка окажется успешной, то Вы воспользуетесь следствием 1 теоремы Безу и понизите на единицу степень исходного уравнения. “Кандидатов” в корни многочлена с целочисленными коэффициентами следует искать среди делителей свободного члена этого многочлена. Если же попытка угадать корни не удалась, то, возможно, Вы избрали “не тот” метод решения, и существует иной метод, реализация которого не требует решения уравнения третьей или большей степени.

Формулы Виета для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен P (x) = a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + … + a_n

имеет n различных корней X₁, X₂, …, X_n. В этом случае он имеет разложение на множители вида

a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + … + a_n = a₀(x – x₁)(x – x₂)…(x – x_n).

Разделим обе части этого равенства на a_0  0 и раскроем скобки. Получим равенство

Xⁿ + (a₁ / a₀)x^{n – 1} + … + (a_n / a₀) =

= xⁿ – (x₁ + x₂ + … +x_n)x^{n – 1} + (x₁x₂ +x₁x₃ + … +x_n-1x_n)x^{n – 2} +

+ … + (-1)ⁿx₁x₂…x_n.

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняются равенства

x₁ + x₂ + … + x_n = -a₁ / a₀,

x₁x₂ + x₁x₃ + … + x_{n – 1}x_n = a₂ / a₀,

_{…………………….}

x₁x_2 …  x_n = (-1)ⁿa_n / a₀.

Пример 5.22. Напишем кубическое уравнение, корни которого являются квадратами корней уравнения x³ – 3x² + 7x + 5 = 0.

Решение. Обозначим корни заданного уравнения через x₁, x₂ и x₃. Тогда по формулам Виета имеем

 ₁ = x₁ + x₂ +x₃ = 3,

 ₂ = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 7,

 ₃ = x₁x₂x₃ = – 5.

Корни искомого уравнения обозначим буквами y₁, y₂, y₃, а его коэффициенты — буквами b₁, b₂, b₃, положив коэффициент при y3 равным 1. По условию должны выполняться равенства y₁ = x₁², y₂ = x₂², y₃ = x₃² и поэтому

b₁ = – (y₁ + y₂ + y₃) = – (x₁² + x₂² + x₃²),

b₂ = y₁y₂ + y₁y₃ + y₂y₃ = x₁²x₂² + x₁²x₃² + x₂²x₃²,

b₃ = – y₁y₂y₃ = – x₁²x₂²x₃² .

Но имеем

x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ +x₃)² – 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) =  ₁² - 2 ₂ = 3² – 2 7 = – 5,

x₁²x₂² + x₁²x₃² + x₂²x₃² = (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)² – 2x₁x₂x₃(x₁ + x₂ +x₃)=  ₂² – 2 _1 3 = = 7² – 2 3 (– 5)= 79,

x₁²x₂²x₃² = (x₁x₂x₃)² =  ₃² = 25.

Значит, b₁ = 5, b₂ = 79, b₃ = – 25, и потому искомое уравнение имеет вид

y³ + 5y² + 79y – 25 = 0.

Ответ: y³ + 5y² + 79y – 25 = 0.