Московский авиационный институт

(Национальный исследовательский университет)

Курсовой проект по дисциплине:

«Автоматизация обработки экспериментальных данных»

Тема:

«Построение экспериментальной математической модели процесса с использованием метода наименьших квадратов»

Вариант № 7

Выполнил:

студент группы 03-524

Колпакова Р. В.

Принял:

Евдокименков В. Н.

Москва, 2013

Содержание

1. Цель работы………………………………………………………………..3

2. Основы метода наименьших квадратов …………………………………4

   1. Методы построения экспериментальных моделей ………………….4

   2. Получение оптимальных оценок параметров модели с

помощью метода наименьших квадратов...........................................5

3. Анализ точности экспериментальной модели …………………….…7

4. Получение доверительных интервалов для параметров модели…… 7

5. Оценка адекватности экспериментальной модели…………………..8

1. Результаты работы………………………………………………………. 10

1. Цель работы

Требуется на основе экспериментальных данных построить математическую модель процесса.

Полагаем, что исследуемый процесс характеризуется набором входных переменных Х₁, Х₂, Х₃ и соответствующим им значением входной переменной у. В процессе проведения эксперимента получены измерения выходной переменной в шести точках наблюдения. Причем, в каждой точке наблюдения при фиксированных значениях входных переменных Х₁, Х₂, Х₃ проведена серия экспериментов, в результате которых сформированы реализации выходной переменной у^ij, i=1,..,6; j=1,..,5.

Полученные в процессе проведения эксперимента данные приведены в нижеследующей таблице.

Таблица экспериментальных значений.

№	X1	X2	X3	yi1	yi2	yi3	yi4	yi5
1	1.50	0.60	0.40	2.98	5.19	5.89	4.15	4.85
2	2.00	1.30	0.50	4.97	6.36	7.46	7.46	7.22
3	2.50	1.10	2.10	15.76	18.06	16.70	16.68	15.50
4	3.00	4.20	1.40	28.32	28.48	25.12	28.41	26.17
5	2.50	3.20	3.20	24.15	24.64	23.79	24.03	25.41
6	2.00	1.60	1.60	17.14	16.83	16.57	17.83	16.68

Также полагается, что связь между выходом процесса у и значениями входных переменных может быть представлена моделью следующего вида:

,

где – неизвестные параметры модели, оценки которых должны быть получены на основе обработки экспериментального материала.

Для практического решения сформулированной задачи оценки неизвестных параметров будет использован алгоритм метода наименьших квадратов.

2. Основы метода наименьших квадратов

1. Методы построения экспериментальных моделей

Существующие методы построения экспериментальных моделей базируются на следующем предположении: считается, что состояние экспериментального объекта формируется под влиянием некоторой совокупности входных воздействий Х₁, Х₂,.., Х_n (входных переменных), образующих в своей совокупности вектор входных переменных.

Реакция объекта на произведенные воздействия регистрируется путем измерения некоторой количественной скалярной характеристики у, называемой выходной переменной.

Задача заключается в определении функциональной зависимости , устанавливающей связь между входными и выходной переменными.

В настоящее время, конструктивные, практически реализуемые методы построения экспериментальных моделей базируются на принципиальном предположении о том, что структура экспериментальной модели известна с точностью до некоторой совокупности неизвестных параметров. При этом наиболее распространенным является следующее представление экспериментальной модели:

,

где – скалярные функции, предполагаемые известными;

– неизвестные параметры модели.

В векторном представлении приведенная выше модель записывается следующим образом:

где

– вектор неизвестных параметров модели;

- вектор известных базисных функций.

С целью определения неизвестных параметров модели проводится N экспериментов, в процессе которых на вход объекта подаются заданные значения входных переменных X^j, j= , измеряется соответствующая реакция объекта на эти входные воздействия y^j, j= . Таким образом, результаты экспериментальных исследований имеют структуру таблицы следующего формата:

№ эксперимента					y
1
2
N

Учитывая, что в реальных условиях измерение значений выходной переменной всегда сопровождается случайной погрешностью, результаты проведения экспериментов с помощью предложной модели могут быть описаны следующим образом:

,

,

где – случайные ошибки измерений выходной переменной в каждом из экспериментов.

Учитывая присутствие в приведенных выше выражениях случайных ошибок измерения, для получения оценок параметров модели необходимо использовать статистические методы.

Наиболее распространенным является метод наименьших квадратов (МНК).