Интервальные оценки параметров нормального распределения вероятности

Пусть ХN (a,), причем а и  неизвестны. Для нахождения точечных оценок а и  из генеральной совокупности извлечена выборка объемом M. Пусть на основании этой выборки найдены точечные несмещенные оценки неизвестных параметров а и  по формулам (4.21) и (4.28)

Точечные оценки, найденные по выборке объемом M, не позволяют непосредственно ответить на вопрос, какую ошибку мы допускаем, принимая вместо точного значения неизвестного параметра а или  его приближенные значения .

Поэтому во многих случаях выгоднее пользоваться интервальной оценкой, основанной на определении некоторого интервала, внутри которого с определенной вероятностью находится неизвестное значение параметра а (или ).

Пусть найденная по результатам выборки объема M статистическая характеристика является точечной оценкой неизвестного параметра . Чем меньше разность , тем лучше качество оценки, тем она точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки

. (4.35)

Однако статистический метод не позволяет категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству (4.35) в смысле математического анализа. Можно только говорить о вероятности (1-), с которой это неравенство выполняется, где – вероятность того, что не попала в указанный интервал.

Доверительной вероятностью оценки называют вероятность γ = (1-) выполнения неравенства . Обычно доверительная вероятность оценки задается заранее. Наиболее часто полагают γ = (1-) = 0,95; 0,99; 0,9975. Доверительная вероятность точечной оценки показывает, что при извлечении выборки объема M из одной и той же генеральной совокупности в (1-) 100% случаях параметр  будет накрываться данным интервалом. При выборе доверительной вероятности нужно придерживаться компромисса между значением этой вероятности и величиной доверительного интервала поскольку, чем выше задана доверительная вероятность, тем больше получается доверительный интервал. Тогда высокая достоверность оценки обесценивается низкой её точностью.

Пусть вероятность того, что равна (1-)

. (4.36)

Преобразуем формулу (4.36)

. (4.37)

Последняя формула показывает, что неизвестный параметр  заключен внутри интервала с вероятностью . Этот интервал называется доверительным.

Итак, доверительный интервал накрывает неизвестный параметр  с заданной надежностью (1-).

В практических приложениях важную роль играет длина доверительного интервала. Чем меньше длина доверительного интервала , тем точнее оценка.

Из формулы (4.37) видно, что длина доверительного интервала равна 2 . Длина доверительного интервала 2 определяется двумя величинами: доверительной вероятностью (1-) и объемом выборки M. Таким образом, , (1-) и M тесно взаимосвязаны и, задавая определенные значения двум из них, можно определить величину третьей.

Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии генеральной совокупности.

Пусть случайная величина X (можно говорить о генеральной совокупности) распределена по нормальному закону, для которого известна дисперсия D(X) =  ² ( > 0). Из генеральной совокупности (на множестве объектов которой определена случайная величина) делается выборка объема M. Выборка x₁, x₂,..., x_M рассматривается как совокупность M.независимых случайных величин, распределенных так же как X . В математической статистике доказывается, что выборочное среднее является случайной величиной, которая также распределена по нормальному закону.

Обозначим неизвестное математическое ожидание случайной величины через a и поставим задачу определить доверительный интервал 2 для a, если известны доверительная вероятность и объём выборки M.

Запишем вероятность попадания значения в интервал

.

Выборочное среднее распределено по нормальному закону с дисперсией . Подсчитаем вероятность попадания в интервал от до по формуле ((4.31), приняв ,

. (4.38)

Для того, чтобы свести данный интеграл к интегралу Лапласа, проведём замену переменно , и получим формулу для вычисления вероятности попадания случайной величины на заданный участок (см.выражение (4.32)):

, (4.39)

которую можно переписать в виде

. (4.40)

Будем обозначать доверительную вероятность буквой . Доверительная вероятность представлена графически на рис.2.8. При построении интервальных оценок, её значения заданы. Используем соотношение

или , (4.41)

которое, с учётом замены переменной перепишем .Для любого  [0;1] можно по таблице найти такое число , что .

Это число иногда называют квантилем. Наиболее употребляемые квантили представлены в таблице 4.7

Таблица 4.7

	0,90	0,95	0,975	0,995	0,999
	1.282	1.645	1.960	2.576	3. 09

Теперь, из равенства , определим значение . Заменяя в неравенстве (4.40) на , раскрывая это неравенство относительно a и учитывая, что функция Лапласа в данном случае равна γ, окончательный результат можно представить в виде

. (4.42)

Смысл последнего выражения заключается в следующем: с вероятностью  выборочное среднее находится в доверительный интервале

Пусть, например, имеется генеральная совокупность, распределенная по нормальному закону с генеральной дисперсией, равной σ² = 6.25. Произведена выборка объема M = 27 и получено выборочное среднее значение характеристики = 12. Найдём доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики генеральной совокупности с надежностью  =0.995.

Сначала, используя таблицу 4.7 находим, что для доверительной вероятности  =0.995 =2.58. Тогда, значение = 1.24. Доверительный интервал для математического ожидания определяется соотношением ( 12–1.24 <a < 12+1.24 ).Таким образом, с вероятностью 99.5 %, можно утверждать, что значение математического ожидания лежит в интервале (10,76; 13,24).