. Числовые характеристики генеральной и выборочной совокупностей
Случайные величины полностью характеризуются законом распределения. Однако во многих задачах практически нет необходимости так полно характеризовать случайную величину. Часто достаточно указать только параметры, характеризующие случайную величину. Нужно указать некоторое среднее значение, около которого группируются возможные числовые значения случайной величины; а также некоторое число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего или центра. Такие характеристики, выражающие в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины. В теории вероятностей используются понятия математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения.
. Математическое ожидание генеральной совокупности дискретной случайной величины
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности:
, (4.13)
где
суммирование ведётся по числу значений,
которые принимает случайная величина.
Например, если производится бросание
кубика с пронумерованными гранями, то
число значений случайной величины равно
6 (1,2,3,4,5,6), а число измерений (в данном
случае определение выпавшего числа
после бросания) может быть каким угодно.
Математическое ожидание обозначают
также буквой
и оно является центром рассеивания
распределения вероятностей случайной
величины При большом числе опытов
среднее арифметическое наблюдаемых
значений случайной величины Х
приближается или сходится по вероятности
к ее математическому ожиданию,
что следует
из закона больших чисел в формулировке
Чебышева. Математическое ожидание имеет
следующие свойства:
1. Если Х = С – const, то μ(С)=С.
Действительно,
постоянную величину С
можно рассматривать как случайную
величину, принимающую одно значение С
с вероятностью p
= 1, тогда
2. Постоянный
множитель можно вынести за знак
математического ожидания, т.е.
.
Действительно:
3. Математическое ожидание суммы случайных величин X и Y равно сумме их математических ожиданий
Это свойство можно обобщить на сумму нескольких случайных величин.
4. . Математическое ожидание произведения случайных независимых величин X и Y равно произведению е их математических ожиданий
Это свойство также можно обобщить на произведение нескольких взаимно независимых случайных величин.
5. Пусть величина Х – μ(Х) является отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания (центрированная случайная величина). Тогда математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю, т.е.
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности дискретной случайной величины
Зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить о распределении значений случайной величины около математического ожидания. Для оценки рассеивания возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания введена другая числовая характеристика, называемая дисперсией.
Дисперсией (рассеиванием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
(4.14)
Исходя из определения, можно записать формулу для вычисления дисперсии дискретной величины:
, (4.15)
т.к. вероятность
появления значений
и
одна
и та же.
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Такой величиной будет среднеквадратическое отклонение (или «стандарт») случайной величины, оно равно корню квадратному из дисперсии:
.
Практически не встречаются такие значения случайной величины, отклонения которых от ее математического ожидания во много раз больше, чем среднее квадратичное отклонение. Дисперсия обладает следующими свойствами
1. Дисперсия
постоянной величины равна нулю:
,
или иными словами, у постоянной величины
рассеивания отсутствуют. Действительно:
.
2. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат.
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
Это свойство можно обобщить на сумму нескольких взаимно независимых случайных величин.
4.
5.
6. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
