Построение математической модели одноиндексной задачи линейного программирования
1.1. Теоретическое введение
Математическое программирование ("планирование") – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Методы математического программирования используются в экономических, организационных, военных и др. системах для решения так называемых распределительных задач.
Характерные черты задач Линейного Программирования следующие:
1) показатель
оптимальности L(X)
представляет собой линейную
функцию от элементов решения
;
2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.
Общая форма записи модели задачи лп
Целевая функция (ЦФ)
при ограничениях
|
(1.1) |
,
Допустимое решение – это совокупность чисел (план) , удовлетворяющих ограничениям задачи (1.1).
Оптимальное решение – это план, при котором ЦФ принимает свое максимальное (минимальное) значение.
Методические рекомендации
1) Искомые величины являются переменными задачи, которые как правило обозначаются малыми латинскими буквами с индексами, например, однотипные переменные удобно представлять в виде .
2) Цель
решения записывается в виде целевой
функции,
обозначаемой, например,
.
Математическая формула ЦФ
отражает способ расчета значений
параметра – критерия эффективности
задачи.
3) Условия, налагаемые на переменные и ресурсы задачи, записываются в виде системы равенств или неравенств, т.е. ограничений. Левые и правые части ограничений отражают способ получения (расчет или численные значения из условия задачи) значений тех параметров задачи, на которые были наложены соответствующие условия.
В процессе записи математической модели необходимо указывать единицы измерения переменных задачи, целевой функции и всех ограничений.
Задача №1 для самостоятельного решения
Выполнить заказ по производству 32 изделий И1 и 4 изделий И2 взялись бригады Б1 и Б2. Производительность бригады Б1 по производству изделий И1 и И2 составляет соответственно 4 и 2 изделия в час, фонд рабочего времени этой бригады составляет 9,5 часов. Производительность бригады Б2 соответственно – 1 и 3 изделия в час, а её фонд рабочего времени – 4 часа. Затраты связанные с производством единицы изделия для бригады Б1 равны соответственно 9 и 20 руб., для бригады Б2 – 15 и 30 руб.
Составьте математическую модель задачи, позволяющую найти оптимальный объём выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты на выполнение заказа.
№ варианта |
Кол. И1 (шт) |
Кол. И2 (шт) |
Фонд времени Б1 (час) |
Фонд времени Б2 (час) |
Затраты Б1 (руб) |
Затраты Б2 (руб) |
|||
И1 |
И2 |
И1 |
И2 |
||||||
1 |
32 |
4 |
9.5 |
4 |
9 |
20 |
15 |
30 |
|
2 |
29 |
2 |
9.6 |
4 |
10 |
20 |
15 |
30 |
|
3 |
30 |
3 |
9.7 |
4 |
11 |
20 |
15 |
30 |
|
4 |
31 |
1 |
9.8 |
4 |
12 |
20 |
15 |
30 |
|
5 |
28 |
5 |
9.9 |
4 |
13 |
20 |
15 |
30 |
|
6 |
33 |
6 |
10 |
4 |
14 |
20 |
15 |
30 |
|
7 |
34 |
7 |
9.4 |
4 |
15 |
20 |
15 |
30 |
|
8 |
35 |
8 |
9.3 |
4 |
8 |
20 |
15 |
30 |
|
9 |
36 |
1 |
9.2 |
4 |
7 |
20 |
15 |
30 |
|
10 |
27 |
2 |
9.1 |
4 |
4 |
20 |
15 |
30 |
|
11 |
28 |
1 |
9.5 |
3 |
5 |
20 |
14 |
30 |
|
12 |
29 |
2 |
9.6 |
3 |
6 |
20 |
14 |
30 |
|
13 |
30 |
3 |
9.7 |
3 |
11 |
20 |
14 |
30 |
|
14 |
31 |
4 |
9.8 |
3 |
13 |
20 |
14 |
30 |
|
15 |
32 |
5 |
9.9 |
3 |
14 |
20 |
141 |
30 |
|