Лекция 4. Случайные величины. Св-1.

Случайная величина это функция, определённая на множестве случайных событий. Случайная величина в результате эксперимента принимает те или иные числовые значения, зависящие от случайных причин. Примеры: кубик, 2 монеты, рост, вес, количество успехов и т.д. .

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретная случайная величина это случайная величина, все возможные значения которой изолированы друг от друга. Множество значений ДСВ – конечное или счётное множество.

Непрерывная случайная величина – это СВ, возможные значения которой заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал. Множество её значений имеет мощность континуума.

Дискретные св.

Закон распределения дискретной случайной величины – соответствие между всеми возможными значениями данной случайной величины и их вероятностями.

Способы задания: графический, аналитический ( ) и табличный.

						…
						…

Значения СВ , , … соответствуют полной группе событий и, ,

=1. (при n , этот ряд сходится к единице)

Функция распределения случайной величины – равна вероятности, что случайная величина примет значение меньше, чем данное. График – ступенчатая возрастающая функция.

,

Числовые характеристики случайных величин.

Математическое ожидание - «среднее значение» случайной величины Математическое ожидание для .дискретной случайной величины – сумма произведений всех её значений на их вероятности.-

Свойства мат. ожидания :

1) Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине: М(С)=С.

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(С )=СМ( ).

2) Мат.ожидание суммы равно сумме мат.ожиданий: .

3) ; 4)

Момент n-го порядка случайной величины равен математическому ожиданию величины

М( )=

Центральный момент n-го порядка случайной величины равен математическому ожиданию

Дисперсия случайной величины - центральный момент второго порядка -равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от её М( )

Дисперсия СВ– показатель разброса значений случайной величины вокруг её «среднего значения».

Величина, равная корню из дисперсии случайной величины называется средним квадратическим отклонением

Основная формула для вычисления дисперсии

Дисперсия дискретной СВ , или,

Лекция 5. Независимость случайных величин.

Случайные величины , , … , -независимы, если значений этих величин , , …, выполняется : = , = , … , = = = =

Если случайные величины , , … , -независимы, то для них выполняется:

Мультипликативное свойство математического ожидания.

М( , , … , )=М( )М( )…М( )

Аддитивное свойство дисперсии:

D( + +… )=D( )+D( )+…+D( )

Свойства дисперсии.

1) Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

2) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

2) , если , то эта случайная величина равна константе почти наверняка (с вероятностью 1)

Дисперсия постоянной величины равна 0.

Доказательство: Д(С) = М((С۰М(С))²) = М(С – С)² = М(0²) = М(0) = 0

3) Дисперсия суммы двух зависимых случайных величин:

D( )=D( )+D( )+ 2M( -M( ))( -M( ))

Ковариация двух случайных величин: M(( -M( ))( -M( )))

Если независимы 0

if 0 не коррелируют

Коэффициент корреляции - = - безразмерная величина, показатель «тесноты» зависимости между случайными величинами.

Ковариация и корреляция с : M( -M )( -M )=D( );

=

Свойства коэффициента корреляции.

1) , то есть

2) Если =0 –корреляционная линейная зависимость между случайными величинами отсутствует.

3) Если =1 – зависимость между случайными величинами функциональная.

Лекция 6а. Примеры дискретных распределений: СВ2

1) Равномерное дискретное распределение на множестве натуральных чисел

; ; М( )=

2) Геометрическое распределение с параметром р (0<p<1).

, ; М( )= ; М( )= .

3) Биномиальное распределение :

, ; М( )=np, а дисперсия: D( )= np(1-p)

4) Распределение Пуассона: , ; М( )= ; М( )

Лекция6. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики.

Непрерывная случайная величина – это СВ, возможные значения которой заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал. Множество её значений имеет мощность континуума.

Функция распределения непрерывной случайной величины равна вероятности попадания этой сл. величины в интервал ( ) Свойства : 1) неотрицательная ограниченная функция 2) ; 3) неубывающая функция:				Плотность распределения вероятностей – функция , такая, что ,
Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Математическое ожидание для непрерывной случайной величины – М( )=	Величина, равная корню из дисперсии случайной величины называется средним квадратическим отклонением		Дисперсия непрерывной случайной величины: или
Примеры непрерывных распределений:
1) равномерное распределение на отрезке [а,b], Функция плотности , ; Функция распределения , Числовые характеристики: ,		2) нормальное (Гауссовское) распределение с параметрами а и : , Функция плотности нормального распределения : , Распределение с параметрами 0,1: N(0,1): М( )= , а =			3) показательное распределение (экспоненциальное): Функция плотности при , , при , , Функция распределения , Числовые характеристики:

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал, можно вычислить, интегрируя плотность распределения случайной величины в интервале (х1,х2).

Вероятность того, что равномерно распределённая случайная величина попадёт в заданный интервал: Вероятность того, что нормально распределённая случайная величина попадёт в заданный интервал (х1,х2):

Лекция 7. Оценки вероятностей отклонений случайной величины от её средних значений. СВ3

Вероятность того, что нормально распределённая случайная величина попадёт в заданный интервал (х₁,х₂): .

В частности, вероятность, что отклонение случайной величины от её мат. ожидания М( ) по абсолютной величине будет меньше числа, равного 3 , равна = = - . Так как функция Лапласа нечётная, получим = + =2 =2 =0,9973 .

Нормально распределённая случайная величина почти наверное принимает значения, принадлежащие интервалу ( ; ).

Правило трёх сигм: Практически достоверно, что при однократном испытании отклонение нормально распределённой случайной величины от её математического ожидания не превышает утроенного среднеквадратического отклонения.

Неравенство Чебышева позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины от её математического ожидания на величину, большую, чем некоторое фиксированное число

Доказательство: Пусть - множество значений случайной величины , находящихся на расстоянии больше чем от её математического ожидания. : .

По определению дисперсии непрерывной случайной величины : = .

С помощью неравенства Чебышева можно расширить применение правила трёх сигм до случайных величин с произвольным законом распределения:

= 1- >1 =1 =1 =

То есть каков бы не был закон распределения случайной величины , вероятность, что отклонение этой случайной величины от её математического ожидания не превысит трёх среднеквадратических отклонений, не меньше, чем .

Неравенство Маркова. Если случайная величина положительна и её математическое ожидание – конечное число, то для любых положительных выполняется: .

Доказательство: М( )= .

Закон больших чисел в форме Бернулли.

Вероятность, что при n независимых испытаниях отклонение относительной частоты события А от его вероятности по абсолютной величине не превышает заданного положительного числа , стремиться к единице, при n стремящимся к бесконечности.

Закон больших чисел в форме Чебышева.

При неограниченном возрастании числа независимых, имеющих конечную дисперсию и проводимых в одинаковых условиях опытов, среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к её математическому ожиданию.

Применяется в теории измерений: проводят n измерений случайной величины и за приближённое её значение принимают среднее арифметическое полученных значений. Так как …= = , то , а значит, увеличивая число измерений, мы увеличиваем точность результата измерений.

Центральная предельная теорема:

Пусть случайная величина - результат суммарного воздействия взаимно независимых случайных величин , ,…, , причём n достаточно велико и не одна из величин не является доминирующей. Тогда - имеет закон распределения, весьма близкий к нормальному.

Теорема Ляпунова.

Если случайная величина равна сумме очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на сумму ничтожно мало, то эта случайная величина имеет распределение, близкое к нормальному.

На практике, нормально распределённой считают величину, равную сумме более чем 10 случайных величин с произвольными законами распределения.