Лекция 2. Основные теоремы теории вероятности. Сс-2

События “A” и “B” связанные с одним и тем же испытанием, называются эквивалентными, если их множества благоприятных исходов А+ и В+ совпадают. Вероятности эквивалентных событий равны Р(А) = Р(В).

– Операции над событиями –

Противоположным событием для события “A” называется новое событие - , состоящее в том, что событие “A” не произошло.

(Событие происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А).

Суммой или объединением двух событий А и В называется новое событие С=А+В =А В, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из этих событий (или событие А, или В или А и В одновременно).

Если события А и В несовместные, то сумма А+В заключается в появлении одного из них.

Произведением или пересечением двух событий А и В называется новое событие С=А۰В =А∩В, заключающееся в одновременном наступлении событий А и В.

– Свойства операций над событиями –

1). Коммутативность сложения А + В = В + А. 2). Ассоциативность сложения (А + В) + С = А + (В + С).

3). Коммутативность умножения А۰В = В۰А. 4). Ассоциативность умножения (А۰В)С = А(В۰С).

5). Сумма противоположных событий – достоверное событие.

6). Произведение противоположных событий, есть невозможное событие. Вероятность произведения событий.

Условной вероятностью Р_В(А) события А называется вероятность появления события А, при условии, что событие В уже произошло.

События А и В независимы, если Р(А)=Р_В(А) и Р(В)=Р_А(В).

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого .

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей

Условная вероятность Р_В(А) равна отношению вероятности совместного наступления событий А и В к вероятности события В.

.– Теоремы сложения вероятностей –

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

- вероятность суммы несовместных событий

Доказательство проведём для испытания с конечным числом n равновозможных исходов. Пусть

m₁ – число исходов благоприятствующих событию A, а m₂ – число исходов благоприятствующих событию В. Тогда вероятность события А = m₁/n; а Р(В)= m₂/n. Т.к. эти события несовместные, то число исходов благоприятствующих событию А + В = m₁ + m₂, тогда Р(А + В) = (m₁ + m₂₎/n = m₁/n + m₂/n = Р(А) + Р(В).

Следствие 1: Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий = сумме их вероятностей Р() = Р(А₁) + Р(А₂) +…+ Р(А_n)

События А₁,А₂ , …, А_n образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате испытания обязательно произойдёт хотя бы одно из них.

Следствие 2: Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Общая теорема сложения вероятностей Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) – вероятность суммы совместных событий.

Доказательство: из опр. суммы возможны три несовместных варианта: А и В произошли вместе - А۰В , произошло А, но не В – , произошло только В - . Для независимых событий вероятность первого варианта – , вероятн. второго Р( )= ; Р( ) = - вер. третьего. Сложив эти вероятности, получим вероятность суммы совместных независимых событий