3.4. Форми реалізації дискретних фільтрів

Еквівалентними називаються фільтри, у яких при нульових початкових умовах й однакових вхідних сигналах вихідні сигнали також однакові. Можливі такі види з'єднань фільтрів:

1. Послідовне з'єднання: вихідна послідовність попереднього фільтра є вхідною для наступного (рис. 3.1).

x 1(z)		H1(z)	x2(z)	H2(z)		x3(z)
			HE(z)
			Рис.3.1

Дійсно, згідно з формулою (3.6), можна показати:

;

Тоді

2. Паралельне з'єднання: вхідна послідовність в усіх фільтрах одна й та ж, а вихідна послідовність системи дорівнює сумі вихідних послідовностей окремих фільтрів (рис. 3.2), при цьому еквівалентна передаточна функція системи дорівнює сумі передаточних функцій окремих фільтрів:

(3.10)

3. З'єднання зі зворотним зв'язком: вихідна послідовність одного фільтра надходить до входу іншого (рис.3.3), причому можливий негативний і позитивний зворотний зв'язок.

Тут еквівалентна передаточна функція системи визначається у вигляді дробу

звідки

Тоді

(3.11)

Знак плюс - при негативному зворотному зв'язку; знак мінус - при позитивному зворотному зв'язку.

3.5. Структурні схеми рекурсивних фільтрів

Пряма форма (рис. 3.4) структурної схеми рекурсивного фільтра реалізується безпосередньо за різницевим рівнянням (3.2) або за передаточною функцією (3.7).

Ця схема містить один суматор, перемножувачі та (N+M-2) елемента затримки.

Пряма канонічна форма. Канонічною називають структурну схему фільтра, що містить мінімальне число елементів затримки.

Передаточну функцію (3.7) рекурсивного фільтра можна показати у такому вигляді:

де

Передаточним функціям і відповідають різницеві рівняння:

.

Оскільки у фільтрах, що реалізують і , має місце тільки затримка сигналу , можна використовувати тільки один набір елементів затримки.

Пряма канонічна форма фільтра показана на рис. 3.5. Вона містить мінімальне число елементів затримки і два суматори.

3.6. Структурні схеми нерекурсивних фільтрів

Пряма форма нерекурсивного фільтра є безпосередньою реалізацією передаточної функції нерекурсивного фільтра

,

або відповідного різницевого рівняння фільтра

.

Пряма форма (рис. 3.6) містить елементів затримки, -перемножувачів і суматор на входів. Цю форму називають також трансверсальним фільтром або фільтром з густорозгалуженою лінією затримки.

3.7. Часові й частотні характеристики лінійних дискретних фільтрів

Найважливішою часовою характеристикою лінійної дискретної системи є імпульсна характеристика, під якою розуміють реакцію системи на одиничний імпульс при нульових початкових умовах. Імпульсну характеристику можна обчислити шляхом вирішення відповідних різницевих рівнянь.

Приклад 3. Обчислимо імпульсну характеристику системи, що описується різницевим рівнянням 1-го порядку вигляду

.

Нехай . При цьому є , отже, .

У такому випадку

.

Звідси видно, що .

За допомогою дискретної згортки можна обчислити реакцію фільтра на будь-який вплив за умови, що вхідний вплив описується виразом (2.1), тобто

(3.12)

Оскільки реакція дискретного фільтра на одиничний імпульс є імпульсною характеристикою , то внаслідок стаціонарності фільтра і з властивостей лінійності фільтра виходить, що реакція на послідовність (3.12) дорівнюватиме:

Ділянки можуть бути обмежені (скінченними). Розглянемо частотну характеристику лінійного дискретного фільтра. Нехай

, (3.13)

де і - Фур'є - перетворення вхідної та вихідної послідовностей.

Тоді частотною характеристикою системи називають відношення

. (3.14)

Отже, частотна характеристика збігається з передаточною функцією (3.6) в одиночному колі Z - площини, тобто

.

Для рекурсивного фільтра

(3.15)

Для нерекурсивного фільтра

. (3.16)

У загальному випадку - комплексна функція, що записується у вигляді

(3.17)

де - модуль частотної характеристики, який також називають амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ);

- аргумент частотної характеристики, який також називають фазочастотною характеристикою (ФЧХ);

- дійсна частина частотної характеристики;

- уявна частина частотної характеристики.

Груповий час затримки (ГЧЗ) визначають, як

(3.18)