5.2.2. Задача виявлення

За результатами спроби виявляється корисний сигнал . Враховується, що він є, якщо у результаті спроби отримано сигнал .

Однак може бути одержаний і при відсутності сигналу , або навпаки, бути відсутнім, коли є сигнал . Необхідно прийняти рішення щодо наявності або відсутності корисного сигналу за результатами спроби. При цьому враховується, що випадковими можуть бути такі сполучення і , які характеризуються відповідними імовірностями, до яких поставлені у відповідність зумовлені значення функції втрат.

1. Корисний сигнал є , одержано сигнал ; прийнято рішення про наявність корисного сигналу ( = ); імовірність цієї сумісної події ; функція втрат , тому рішення вірне.

2. Корисний сигнал є, сигнал не одержано; прийнято рішення про відсутність корисного сигналу ( =0); імовірність цієї сумісної події ; функція втрат , тому що рішення невірне, бо має місце пропуск сигналу.

3. Прийнято рішення про наявність корисного сигналу ( = ); імовірність цієї сумісної події ; функція втрат , тому що рішення невірне, бо має місце хибне виявлення сигналу.

4. Корисний сигнал відсутній ( =0); сигнал не отримано; прийнято рішення про відсутність корисного сигналу ( =0); імовірність цієї сумісної події ; функція втрат , тому що рішення вірне.

Відповідно до формули (5.3) середній ризик визначається як

.

Відповідно до загальної формули помноження імовірностей

, ,

та показуючи сумісні імовірності через умовні, маємо :

,

де - апріорна імовірність наявності сигналу ;

- апріорна імовірність відсутності сигналу ;

- умовна імовірність неодержання сигналу при наявності сигналу , тобто імовірність пропуску сигналу, яку можна виразити через умовну імовірність одержання сигналу - ;

, тому що отримання і неотримання сигналу складає певну групу випадкових подій;

- умовна імовірність одержання сигналу при відсутності , тобто імовірність хибного виявлення.

Якщо підставити у вираз для значення , отримаємо

.

буде мінімальним, якщо другий член у правій частині рівності за абсолютною величиною дорівнюватиме третьому членові або буде більшим за нього.

Отже, умова мінімуму середнього ризику має вигляд:

,

або

.

Після одержання сигналу вирази і є функціями правдоподібності. Відношення

є порогом виявлення, а нерівність

(5.4)

є оптимальним критерієм виявлення.

Рішення щодо виявлення приймається, якщо виконується нерівність (5.4). При застосуванні цього критерію середні витрати мають мінімальне значення. Якщо ℓ₀ вибирається, виходячи із заданої імовірності хибного виявлення, то (5.4) є критерієм Неймана - Пірсона.

5.2.3. Задача оцінки параметрів

При виявленні траєкторій розглядаються дискретні події. У той же час траєкторії є безперервними величинами. Тому при вирішенні задачі оцінки використовується сумісна щільність розподілу імовірності . Функція втрат також безперервна й часто подається квадратичною залежністю

, (5.5)

де Z - істинне значення параметра;

- його оцінка (рішення щодо значення параметра);

Ζ- - абсолютна помилка оцінки параметра;

С- коефіцієнт нормування.

За результатами спроби в міститься інформація про параметр .

У даному випадку середній ризик

.

Використовуючи рівність і вважаючи фіксованим після спроби, достатньо для отримання вирішального правила мінімізувати інтеграл .

Звідки і (5.6)

тому що .

Таким чином, для квадратичної функції втрат оцінкою параметра є його математичне очікування.

При несиметричній функції оцінка збігається з абсцисою центра мас плоскої фігури, яка заключена під кривою , як показано на рис. 5.2. Проте, часто криву вважають симетричною з вираженим максимумом, тому оцінка зберігається з абсцисою максимуму (рис.5.3).

Оскільки функція - це умовна апостеріорна щільність імовірності значень параметрів за умови, що у результаті спроби отримаємо , то метод отримання оцінки параметра у даному випадку називається методом максимуму апостеріорної імовірності.

Функція може бути отримана з рівності

і виражається через інші функції таким чином:

, (5.7)

де і - безумовні щільності розподілу імовірностей значень параметрів і спробних результатів величини ;

- функція правдоподібності або післяспробне значення умовної щільності імовірності , коли у результаті спроби зафіксовано , і розглядається як функція від параметра , що оцінюється.

Якщо розподіл і невідомий, то їх вважають постійними, тому що у цьому випадку умовна апостеріорна щільність розподілу імовірності відрізняється від функції правдоподібності тільки на величину постійного множника, вигляд функції однаковий і метод максимуму апостеріорної імовірності збігається з методом максимуму правдоподібності.

Математичне формулювання методу максимуму правдоподібності виражається формулою:

, (5.8)

де - функція правдоподібності.

Якщо спроби щодо вимірювання незалежні, то метод максимуму правдоподібності є методом найменших квадратів. Усі перелічені методи є оптимальними, оскільки враховують усі статичні характеристики випадкових величин, що приймають участь в обробці.