5. Случайные величины

Случайная величина — переменная величина, конкретное значение которой зависит от случая. Например, скорость автомобиля в данный момент времени; температура воздуха в определенный момент времени; номер грани игрального кубика, выпадающий при его бросании, и т.д.

Для характеристики случайной величины необходимо знать множество возможных значений этой величины и вероятности, с которыми она может принимать эти значения. Эти данные образуют закон распределения случайной величины.

Дискретной случайной величиной называют случайную величину Х, которая принимает отдельные значения х_i с вероятностью р_i. Ее закон распределения — это соответствие между возможными значениями х_i и их вероятностями р_i, при этом следует отметить, что р_i=1.

Непрерывная случайная величина А принимает множество значений, заполняющих всю числовую ось (или некоторые интервалы). Ее задают непрерывной (или кусочно-непрерывной) функцией, называемой плотностью распределения вероятностей случайной величины А.

Часто встречается нормальное распределение или распределение Гаусса. На рисунке показана плотность нормального распределения (два варианта).

С амыми важными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.

Термин математическое ожидание связан с представлением о среднем или наиболее ожидаемом выигрыше в теории азартных игр. Математическое ожидание М(Х) определяется по формуле:

М(Х)=х_iр_i

Пример 26. Пусть в некоторой лотерее на каждый билет вероятность выиграть

100 руб. — 3%,

1000руб. — 0,1%,

10000 руб. — 0,01%,

100000 руб. — 0,001%,

других выигрышей нет.

Каков средний выигрыш в лотерее на один билет?

Решение. Средний выигрыш подсчитывается как математическое ожидание.

М(Х)=0,03´100+0,001´1000+0,0001´10000+0,00001´100000=6 руб.

Дисперсия - (от латинского dispengo — рассыпать, рассеивать, разбрасывать) D(Х) случайной величины Х характеризует разброс возможных ее значений относительно математического ожидания и определяется по формуле D(X)=M[X–M(X)]².

Схематично основные понятия можно представить следующим образом.

Случайная величина
Дискретная		Непрерывная
Основные законы распределения
Дискретные величины		Непрерывные величины
Равномерное распределение		Равномерное (прямоугольное) распределение
Биноминальное распределение		Экспоненциальное (показательное) распределение
Распределение Пуассона		Нормальное распределение (Гаусса)
Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание Дисперсия