4. Свойства вероятностей Теорема сложения вероятностей

Для несовместимых	Для совместимых	Для противоположных
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)	Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ)	Р(Ā)=1–Р(А)

1. Если А и В — два несовместимых события, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

2. Если А и В совместимые события, то вероятность их суммы вычисляется по формуле: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ).

3. Если А и Ā противоположные события, то справедлива формула Р(Ā)=1–Р(А).

Пример 20. Один лотерейный билет выигрывает с вероятностью 0,0001. Какова вероятность того, что владелец одного билета ничего не выиграет?

Решение. Пусть событие А означает выигрыш. Тогда противоположное ему событие Ā означает, что билет не выигрывает. Следовательно, Р(А)=1–0,0001=0,9999.

Пример 21. В урне 8 белых, 5 синих и 3 красных шара. Какова вероятность того, что вынутый шар будет белого или красного цвета?

Решение. Пусть событие А — вынут белый шар, а событие В — вынут красный шар. Надо найти Р(А+В). Тогда Р(А) = 8/16, Р(В) = 3/16. Событие А+В состоит в том, что вынут шар красного или белого цвета. Так как события А и В несовместимые, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=8/16+3/16=11/16.

Теорема умножения вероятностей

Для независимых	Для зависимых
Р(АВ)=Р(А)´Р(В)	Р(АВ)=Р(А)´РА(В)=Р(В)´РВ(А)

Пример 22. Из колоды карт выбирают наугад две карты. Какова вероятность того, что будут вынуты 2 дамы?

Решение. Пусть событие А — первая карта дама, тогда Р(А)=4/36 (в колоде 4 дамы); если первая карта оказалась дамой, то условная вероятность события В — вторая карта дама (при условии, что первая выбранная карта была дама) — равна Р_А(В)=3/35. Надо найти вероятность события, которое является произведением событий А и В, т.к. А и В события зависимые (они могли бы быть независимыми только в том случае, если выбранную карту возвращали обратно в колоду), то Р(АВ)=Р(А)´Р_А(В)=(4/36)´(3/35)=1/105.

Пример 23. В ящике имеются 7 белых и 5 черных шаров, отличающихся лишь цветом. Опыт состоит в том, что сначала вынимают наугад один шар и, не опуская его обратно, вынимают еще один шар. Какова вероятность, что оба вынутых шара черные?

Решение. Пусть событие А — первый вынутый шар черного цвета, тогда Р(А)=5/12, если первый шар оказался черным, то условная вероятность события В — второй шар черного цвета (при условии, что первый шар был черным) — равна P_А(B)=4/11, т.к. перед выниманием второго шара в ящике осталось 11 шаров, из них 4 черных. Вероятность вынуть два черных шара подряд можно подсчитать по формуле Р(АВ)= Р(А)´Р_А(В)=5/12´4/11=5/33.

В данном примере вероятность появления второго черного шара не зависела бы от цвета вынутого первого шара, если, вынув первый шар, мы положили бы его обратно в ящик.

Пример 24. Два спортсмена стреляют в одну и ту же цель, причем вероятность поражения цели первым стрелком 0,8, а вторым — 0,9. Оба стреляют одновременно один раз. Какова вероятность, что цель будет поражена хотя бы одним из спортсменов?

Решение.

Пусть событие А — попадание в цель первым стрелком, В — попадание в цель вторым стрелком, тогда событие А+В — поражение цели хотя бы одним стрелком, событие АВ — поражение цели обоими стрелками. В данном случае события А и В совместимые, поэтому

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ) Þ Р(А+В)=0,8+0,9–Р(АВ).

В данном примере события А и В независимые, поэтому

Р(AB)=Р(А)´Р(В)=0,8´0,9=0,72 Þ Р(A+В)=0,8+0,9–0,72=0,98.

Пример 25. Студент выучил 20 вопросов из 25. На экзамене ему предлагается ответить на два случайно заданных вопроса. Обозначим:

событие А — студент ответил на первый вопрос,

событие В студент ответил на второй вопрос.

События А и В зависимые.

Какова вероятность того, что студент ответит:

а) на оба вопроса — событие АВ;

б) только на один вопрос — событие (А +ĀВ);

в) ни на один вопрос — событие Ā ;

г) хотя бы на один вопрос — событие, противоположное событию Ā .

Решение.

Предварительно вычислим:

Р(А)=20/25 (20 благоприятных исходов из 25);

Р(Ā)=5/25, как противоположное Р(А);

Р_А(В)=19/24 (вероятность события В при условии, что произошло событие А, т.е. студент знал первый вопрос, поэтому осталось 19 благоприятных исходов из 24);

Р_А( )=5/24, как противоположное Р_А(В);

Р_Ā(В)=20/24 (вероятность события В при условии, что событие А не произошло, т.е. студент не знал первый вопрос, поэтому осталось 20 благоприятных исходов из оставшихся 24);

Р_Ā( )=1–Р_Ā(В)=4/24.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:

а) Р(АВ)=Р(А)´Р_А(В)=20/25´19/24=19/30.

б) Р(А +ĀВ)=Р(А )+Р(ĀВ)=Р(А)´Р_А( )+Р(Ā)´Р_Ā(В)= 20/25 ´5/24+5/25´20/24=10/30

в) Р(Ā )=Р(Ā)´Р_Ā( )=5/2´4/24=1/30

г) 1–Р(Ā )=1–1/30=29/30.

Проверка:

События в пунктах а), б), в) образуют полную группу событий, следовательно, сумма их вероятностей должна быть равна 1.