СОДЕРЖАНИЕ
Тема III. Введение в Теорию веРоятностей 2
1. Справочные материалы 2
1.1. Основные понятия и определения 2
1.2. Действия над случайными событиями 4
1.3. Классическое определение вероятности 5
1.4. Свойства вероятностей 6
Теорема сложения вероятностей 6
Теорема умножения вероятностей 6
1.5. Случайные величины 8
2. Рекомендации для самостоятельной работы 11
3. Задания для самостоятельной работы 12
3.1. Задания 1-го уровня 12
Тема III. Введение в Теорию веРоятностей
Вероятность — числовая характеристика возможности появления случайного события в определенных условиях, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз.
Теория вероятностей — раздел высшей математики, изучающий закономерности массовых случайных событий. Основные объекты ее изучения:
1) случайное событие и его вероятность;
2) случайная величина и ее функция распределения;
3) случайный процесс и его вероятностная характеристика.
Методы теории вероятностей применяются при математической обработке результатов измерений практически во всех областях науки, так как окружающий нас мир пронизан явлениями, которые носят случайный характер.
На бытовом уровне мы различаем два вида событий: детерминированные и случайные.
В детерминированном событии точно известно, что произойдет в результате выполненного действия. Например, нажатие на кнопку выключателя приведет к загоранию лампочки.
Исход случайного события непредсказуем. Классический пример такого события — подбрасывание монеты или игрального кубика. Нельзя заранее узнать, на какую сторону упадет монета или какая грань выпадет на кубике.
В теории вероятностей важным является предположение о принципиальной возможности многократного повторения случайного эксперимента, т.к. законы исчисления вероятностей можно обнаружить только при большом числе однотипных случайных испытаний.
Азартные игры в карты и в кости, широко распространенные в Европе в XVI–XVII веках, как раз и явились такими простыми многократно повторяющимися опытами, опираясь на которые, можно угадать и проверить предполагаемую закономерность. Может быть, именно поэтому первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, связаны с попытками создания теории азартных игр:
«Книга об игре в кости» Дж. Кордано;
«О выходе очков при игре в кости» Г. Галилея;
«О расчетах при игре в кости или о расчетах при азартной игре» Х. Гюйгенса.
В настоящее время теория вероятностей широко применяется при оценках ошибок наблюдений в исследовании социальных процессов, например демографии.
Справочные материалы
Основные понятия и определения
Испытание — неопределяемое понятие, разъясняется как наблюдение, явление, опыт, эксперимент и прочее. Испытаниями, например, являются: бросание игрального кубика, выстрел из винтовки, бросание монеты и т.д.
Событие — это результат (исход) испытания. Например, событиями являются: выпадение того или иного числа очков при бросании кубика, попадание в цель или промах, выпадение «орла» или «решки» и т.д.
События обозначаются большими буквами латинского алфавита.
Пример 1. Событие: появление поезда на станции. Это событие случайное с точки зрения пассажира, не знающего расписания, и неслучайное для пассажира, знающего расписание.
Событие называют достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.
Пример 2. Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары белые.
Событие А — вынут белый шар — достоверное событие,
Событие В — вынут черный шар — невозможное событие.
Событие А называют случайным, если в данном испытании оно объективно может наступить или не наступить.
Пример 3. Испытание: бросание монеты. Событие А — выпадение герба при бросании монеты — случайное событие.
Среди случайных событий выделяют совместимые и несовместимые, противоположные, единственно возможные.
*****
Два события называют совместимыми, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Пример 4. Испытание: однократное бросание игрального кубика. Событие А — выпадение трех очков, событие В — выпадение нечетного числа очков. События А и В совместимые.
Два события называют несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.
Пример 5. Испытание: однократное бросание монеты. Событие А — выпадение герба, событие В — выпадение цифры. Эти события несовместимы, так как появление одного из них исключает появление другого.
Пример 6. Испытание: бросание игрального кубика. Пусть событие А1 — выпадение одного очка, А2 — выпадение двух очков, А3 — выпадение трех очков, А4 — четырех очков, А5 — пяти очков, А6 — выпадение шести очков, событие В1 — выпадение четного числа очков, событие В2 — выпадение нечетного числа очков. При одном бросании кубика события А4 и В1 (выпадение четной грани) — события совместимые, а события А3 и В1 — события несовместимые.
События А1, А2, А3, …, Аn называют единственно возможными (образуют полную группу событий), если в результате испытания происходит какое–либо одно и только одно из этих событий. В примере 6 события А1, А2, А3, А4, А5, А6, которые соответствуют выпадению чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, являются несовместимыми и единственно возможными, так как какое–либо из них непременно должно наступить при данном испытании.
Два события А и Ā называют противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит. Событие, противоположное событию А, обозначают через Ā .
Пример 7. Испытание: бросание монеты. Событие О — выпадение герба, событие U — выпадение цифры. События O и U являются противоположными, так как исходами бросания могут быть лишь они и появление одного из них исключает появление другого, т.е. O=Ū и U=Ō.